II.3. Développements des intégrales orbitales pondérées
299
D’autre part, on a u α (a) = u β (a) pour tout β ∈ J
α . L’égalité (2) devient
ρ
˜
G
J (γ
˜
M , a) =
j=1,...,k
c j
횿
α∈J
횿
β∈J
α
d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L β )m(β, u) sgn(β, u)u β (a)γ j
=
α∈J
β∈J
α
d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L β )m(β, u) sgn(β, u)u β (a)γ
˜
M .
Pour un espace de Levi ˜
L vérifiant (1), on vérifie que la réunion sur les α ∈ J des
β ∈ J
α tels que ˜
L β = ˜
L est vide si J ∈ J
˜
L
˜
R
. Sinon, c’est l’ensemble des β ∈ J, où
J est vu comme un élément de J
˜
L
˜
R
. D’où
ρ
˜
G
J (γ
˜
M , a) =
˜
L∈L( ˜
R),J∈J
˜
L
˜
R
d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L)
β∈J
m(β, u) sgn(β, u)u β (a)γ
˜
M .
Par une égalité similaire à (2), on a pour tout ˜
L intervenant ci-dessus
ρ
˜
L
J (γ, a) =
β∈J
m(β, u) sgn(β, u)u β (a)γ.
L’égalité précédente devient
ρ
˜
G
J (γ
˜
M , a) =
˜
L∈L( ˜
R),J∈J
˜
L
˜
R
d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L)ρ
˜
L
J (γ, a)
˜
M .
Cela prouve le lemme.
Variante. Supposons (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure et fixons un
système de fonctions B comme en 1.9. On dispose de l’ensemble J
˜
G
˜
M
(B O
˜
M ). Les
constructions s’adaptent pour cet ensemble et on a un lemme similaire.
II.3.11 Termes σ J et induction
Soient (G, ˜
G, a) un triplet quasi-déployé et à torsion intérieure, B un système de
fonctions comme en 1.9, ˜
M un espace de Levi de ˜
G, ˜
R un espace de Levi de ˜
M et
O une classe de conjugaison stable semi-simple dans ˜
R(F ). On note O
˜
M la classe
de conjugaison stable dans ˜
M (F ) qui contient O.
Lemme. Soient J ∈ J
˜
G
˜
M
(B O
˜
M ), δ ∈ D
st
g´ eom (O) ⊗ Mes(R(F ))
∗ et a ∈ A M (F ) en
position générale et assez proche de 1. On a l’égalité
σ
˜
G
J (δ
˜
M , a) =
˜
L∈L( ˜
R),J∈J
˜
L
˜
R
e
˜
G
˜
R
( ˜
M, ˜
L)σ
˜
L
J (δ, a)
˜
M .
En utilisant le lemme précédent, la démonstration est similaire à celle du (ii)
de la proposition 1.14.