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Chapitre II. Enoncés des résultats
Pour tout i, appliquons la relation 1.7(11) :
ρ(α i , v j η) =
βi∈Σ
˜
G (A ˜
R ),β i, ˜
M =αi
ρ(β i , vη) ˜
M .
Notons J
α l’ensemble des ensembles β = {β 1 , . . . , β n } d’éléments de Σ
˜
G (A ˜
R ) tels
que β i, ˜
M = α i pour tout i (en numérotant convenablement les éléments de cet
ensemble). On obtient
m(α, v j η) sgn(α, v j η) =
β∈J
α
m
i=1,...,n
α i , ρ(β i , uη) .
Pour chaque ensemble β = {β 1 , . . . , β n } ∈ J
α , définissons l’espace de Levi ˜
L β
de sorte que A ˜
L β
soit l’intersection des annulateurs des β i dans A ˜
R . Alors β
appartient à une unique classe J β ∈ J
˜
L β
˜
R
. Il résulte des définitions que la relation
(1) est vérifiée pour ˜
L = ˜
L β et que la classe J β s’envoie sur J par l’injection
J
˜
L β
˜
R
⊂ J
˜
G
˜
M
. On introduit des coracines ˇ
β i comme ci-dessus. On a
α i , ρ(β i , uη) =
α i , ˇ
β i
β i , ρ(β i , uη) ,
d’où
m(α, v j η) sgn(α, v j η) =
β∈J
α
mm
β
i=1,...,n
β i , ρ(β i , uη) ,
où
m
β =
i=1,...,n
α i , ˇ
β i
.
Le produit mm
β est le volume du quotient de A
˜
G
˜
M
par le Z-module engendré par
les ˇ
β i, ˜
M pour i = 1, . . . , n. Un calcul simple montre que
mm
β = d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L β )m β ,
où m β est le volume du quotient de A
˜
L β
˜
R
par le Z-module engendré par les ˇ
β i .
D’où
m(α, v j η) sgn(α, v j η) =
β∈J
α
d
˜
G
˜
R
( ˜
M ˜
L β )m β
i=1,...,n
β i , ρ(β i , uη) .
Par une égalité similaire à (3), cette expression devient
m(α, v j η) sgn(α, v j η) =
β∈J
α
d
˜
G
˜
M
( ˜
M , ˜
L β )m(β, uη) sgn(β, uη).