II.3. Développements des intégrales orbitales pondérées
297
classe de conjugaison dans ˜
M (F ) qui contient O. On rappelle l’homomorphisme
d’induction
D g´ eom (O) ⊗ Mes(R(F ))
∗
→ D g´ eom (O
˜
M ) ⊗ Mes(M (F ))
∗
γ
→
γ
˜
M
Rappelons que J
˜
G
˜
M
est l’ensemble des classes d’équivalence d’ensembles α =
{α 1 , . . . , α n } où les α i sont des éléments linéairement indépendants de Σ
G (A ˜
M )
et où n = a ˜
M − a ˜
G . Deux ensembles sont équivalents s’ils engendrent le même
Z-module. Soit ˜
L ∈ L( ˜
R) tel que
(1)
A
˜
G
˜
R
= A
˜
M
˜
R
⊕ A
˜
L
˜
R
.
Alors de l’injection A ˜
M → A ˜
R se déduit une application injective Σ
L (A ˜
R ) →
Σ
G (A ˜
M ). Il s’en déduit une injection J
˜
L
˜
R
→ J
˜
G
˜
M
par laquelle on identifie le premier
ensemble à un sous-ensemble du second. A un élément J ∈ J
˜
L
˜
R
sont associés deux
espaces U J , l’un de germes de fonctions sur A ˜
R (F ), l’autre de germes de fonctions
sur A ˜
M (F ). Ce dernier est l’ensemble des restrictions des éléments du premier.
Lemme. Soient J ∈ J
˜
G
˜
M
, γ ∈ D g´ eom (O) ⊗ Mes(R(F ))
∗ et a ∈ A ˜
M (F ) en position
générale et assez proche de 1. On a l’égalité
ρ
˜
G
J (γ
˜
M , a) =
˜
L∈L( ˜
R),J∈J
˜
L
˜
R
d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L)ρ
˜
L
J (γ, a)
˜
M .
Preuve. On fixe des mesures de Haar sur tous les groupes intervenant. Par linéarité, on peut supposer que γ est une intégrale orbitale associée à un élément
uη ∈ ˜
R(F ), où η ∈ ˜
R(F ) est semi-simple et u ∈ R η (F ) est unipotent. Alors γ
˜
M
est une combinaison linéaire
j=1,...,k
c k I
˜
M (v j η, ω, .)
d’intégrales orbitales associées à des éléments v j η, où v j ∈ M η (F ) appartient
à l’orbite induite de celle de u. On pose γ j = I
˜
M (v j η, ω, .). En appliquant la
définition 3.2(5), on obtient
(2)
ρ
˜
G
J (γ
˜
M , a) =
j=1,...,k
c j
α∈J
m(α, v j η) sgn(α, v j η)u α (a)γ j .
Considérons α = {α 1 , . . . , α n } ∈ J. Pour tout i = 1, . . . , n, fixons une «coracine»
ˇ
α i que nous normalisons par la condition α i , ˇ
α i = 1 (sic !). Notons m le volume
du quotient de A
˜
G
˜
M
par le Z-module engendré par ces ˇ
α i , pour i = 1, . . . , n. Le
terme ρ
˜
G (α i , v j η) défini en 1.5 est proportionnel à ˇ
α i . Il résulte des définitions que
(3)
m(α, v j η) sgn(α, v j η) = m
i=1,...,n
α i , ρ(α i , v j η) .
297
classe de conjugaison dans ˜
M (F ) qui contient O. On rappelle l’homomorphisme
d’induction
D g´ eom (O) ⊗ Mes(R(F ))
∗
→ D g´ eom (O
˜
M ) ⊗ Mes(M (F ))
∗
γ
→
γ
˜
M
Rappelons que J
˜
G
˜
M
est l’ensemble des classes d’équivalence d’ensembles α =
{α 1 , . . . , α n } où les α i sont des éléments linéairement indépendants de Σ
G (A ˜
M )
et où n = a ˜
M − a ˜
G . Deux ensembles sont équivalents s’ils engendrent le même
Z-module. Soit ˜
L ∈ L( ˜
R) tel que
(1)
A
˜
G
˜
R
= A
˜
M
˜
R
⊕ A
˜
L
˜
R
.
Alors de l’injection A ˜
M → A ˜
R se déduit une application injective Σ
L (A ˜
R ) →
Σ
G (A ˜
M ). Il s’en déduit une injection J
˜
L
˜
R
→ J
˜
G
˜
M
par laquelle on identifie le premier
ensemble à un sous-ensemble du second. A un élément J ∈ J
˜
L
˜
R
sont associés deux
espaces U J , l’un de germes de fonctions sur A ˜
R (F ), l’autre de germes de fonctions
sur A ˜
M (F ). Ce dernier est l’ensemble des restrictions des éléments du premier.
Lemme. Soient J ∈ J
˜
G
˜
M
, γ ∈ D g´ eom (O) ⊗ Mes(R(F ))
∗ et a ∈ A ˜
M (F ) en position
générale et assez proche de 1. On a l’égalité
ρ
˜
G
J (γ
˜
M , a) =
˜
L∈L( ˜
R),J∈J
˜
L
˜
R
d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L)ρ
˜
L
J (γ, a)
˜
M .
Preuve. On fixe des mesures de Haar sur tous les groupes intervenant. Par linéarité, on peut supposer que γ est une intégrale orbitale associée à un élément
uη ∈ ˜
R(F ), où η ∈ ˜
R(F ) est semi-simple et u ∈ R η (F ) est unipotent. Alors γ
˜
M
est une combinaison linéaire
j=1,...,k
c k I
˜
M (v j η, ω, .)
d’intégrales orbitales associées à des éléments v j η, où v j ∈ M η (F ) appartient
à l’orbite induite de celle de u. On pose γ j = I
˜
M (v j η, ω, .). En appliquant la
définition 3.2(5), on obtient
(2)
ρ
˜
G
J (γ
˜
M , a) =
j=1,...,k
c j
α∈J
m(α, v j η) sgn(α, v j η)u α (a)γ j .
Considérons α = {α 1 , . . . , α n } ∈ J. Pour tout i = 1, . . . , n, fixons une «coracine»
ˇ
α i que nous normalisons par la condition α i , ˇ
α i = 1 (sic !). Notons m le volume
du quotient de A
˜
G
˜
M
par le Z-module engendré par ces ˇ
α i , pour i = 1, . . . , n. Le
terme ρ
˜
G (α i , v j η) défini en 1.5 est proportionnel à ˇ
α i . Il résulte des définitions que
(3)
m(α, v j η) sgn(α, v j η) = m
i=1,...,n
α i , ρ(α i , v j η) .