II.3. Développements des intégrales orbitales pondérées
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Proposition. Pour tout δ ∈ D
st
g´ eom (M
, O
)⊗Mes(M
(F ))
∗ et tout f ∈ I( ˜
G(F ), ω)⊗
Mes(G(F )), le germe en 1 de la fonction
a → I
˜
G,E
˜
M
(M
, ξ(a)δ, f ),
qui est définie pour tout a ∈ A ˜
M (F ) en position générale, est équivalent à
˜
L∈L( ˜
M)
J∈J
˜
L
˜
M
I
˜
G,E
˜
L
(ρ
˜
L,E
J (M
, δ, a)
˜
L , f ).
Preuve. Supposons d’abord (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure et M
=
M. On vérifie qu’aucun terme ne change si on supprime les exposants E. L’assertion
est alors le (ii) de la proposition 3.2. On exclut ce cas.
Posons pour simplifier a
= ξ(a). On a l’égalité
I
˜
G,E
˜
M
(M
, a
δ, f ) =
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M ) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))S
G
(˜ s)
M (a
δ, B
˜
G , f
G
(˜ s) ).
Calculons le germe en 1 de cette expression, à équivalence près. D’après nos hypothèses de récurrence, la proposition 3.7 est démontrée pour tous les termes
intervenant ici. En l’utilisant, on obtient
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))
˜
L
˜
s ∈L
˜
G (˜ s) ( ˜
M )
J ∈J
˜
G (˜ s)
˜
M
(B
˜
G
O )
S
G
(˜ s)
L
˜
s
(σ
L
(˜ s)
J
(δ, a
)
L
˜
s , B
˜
G , f
G
(˜ s) ).
On regroupe les (˜ s, ˜
L
˜
s ) selon l’espace de Levi ˜
L déterminé par A ˜
L = A ˜
L
˜
s
. Comme
dans les démonstrations précédentes, ˜
L
˜
s devient ˜
L
(˜ s). On obtient
˜
L∈L( ˜
M)
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M ) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
L) Γ F , ˆ
θ ,L (˜ s) elliptique
J ∈J
˜
L (˜ s)
˜
M
(B
˜
G
O )
˜
t∈˜ sZ( ˆ
L) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
( ˜
t))S
G
( ˜
t)
L (˜ s) (σ
L
(˜ s)
J
(δ, a
)
L
(˜ s) , B
˜
G , f
G
( ˜
t) ).
On peut décomposer la somme en J
en une somme en les J ∈ J
˜
L
˜
M
et une somme
en les J
tels que J
→ J. D’autre part, on a encore
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
( ˜
t)) = i ˜
M ( ˜
L, ˜
L
(˜ s))i ˜
L (˜ s) ( ˜
G, ˜
G
( ˜
t)),