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Chapitre II. Enoncés des résultats
et proche de 1. On pose
ρ
˜
G,E
J (M
, δ, a) =
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M ) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))
J ∈J
˜
G (˜ s)
˜
M
(B
˜
G
O );J →J
transfert(σ
G
(˜ s)
J
(δ, ξ(a))).
Notons que la somme en J
est vide ou réduite à un seul élément. Les considérations
qui précédent montrent que ρ
˜
G,E
J (M
) prend ses valeurs dans l’espace indiqué.
D’après nos hypothèses de récurrence, les termes σ
G
(˜ s)
J
(δ, ξ(a)) sont stables et on
peut bien les transférer, sauf dans le cas où (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion
intérieure et où M
= M. Dans ce cas, le terme correspondant à ˜
s = 1 pose
problème. On le remplace simplement par σ
˜
G
J (δ, a). Par définition de ce dernier
terme, on a dans ce cas ρ
˜
G,E
J (M, δ, a) = ρ
˜
G
J (δ, a).
Proposition (à prouver). Pour tout J ∈J
˜
G
˜
M
, tout δ ∈ D
st
g´ eom (M
,O
)⊗Mes(M
(F ))
∗
et tout a ∈ A ˜
M (F ) en position générale et proche de 1, on a l’égalité
ρ
˜
G,E
J (M
, δ, a) = ρ
˜
G
J (transfert(δ), a).
C’est une soeur de la proposition [II] 2.7 et elle sera prouvée de la même
façon. Sauf pour les classes O exceptionnelles évoquées en [II] 2.7, on prouvera
l’assertion en [III] 7.1 par une méthode de descente. D’autre part, on prouvera en
[III] 7.4 que, pour toute classe O, l’assertion se déduit du théorème 1.16(i). La
proposition pour les classes exceptionnelles résultera donc de ce théorème, dont la
preuve s’achèvera en [X] 7.7.
Variante. Supposons (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Fixons un
système de fonction B. Il s’en déduit un tel système sur les espaces endoscopiques
˜
G
(s) intervenant. En utilisant ces systèmes à la fois sur ˜
G et sur ses espaces
endoscopiques, on définit la variante ρ
˜
G,E
J (M
) pour J ∈ J
˜
G
˜
M
(B O ). Dans ce cas
particulier, on achèvera la preuve de la proposition en [III] 7.5 tout simplement
parce qu’il n’y a pas de classes exceptionnelles dans ce cas.
Variante. Supposons G = ˜
G, a = 1 et O = {1}. Fixons une fonction B comme en
1.8. On définit de même la variante ρ
G,E
J (M
) pour J ∈ J
G
M (B).
II.3.9 Développement des intégrales orbitales pondérées
endoscopiques
Les données sont les mêmes que dans le paragraphe précédent.
Chapitre II. Enoncés des résultats
et proche de 1. On pose
ρ
˜
G,E
J (M
, δ, a) =
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M ) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))
J ∈J
˜
G (˜ s)
˜
M
(B
˜
G
O );J →J
transfert(σ
G
(˜ s)
J
(δ, ξ(a))).
Notons que la somme en J
est vide ou réduite à un seul élément. Les considérations
qui précédent montrent que ρ
˜
G,E
J (M
) prend ses valeurs dans l’espace indiqué.
D’après nos hypothèses de récurrence, les termes σ
G
(˜ s)
J
(δ, ξ(a)) sont stables et on
peut bien les transférer, sauf dans le cas où (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion
intérieure et où M
= M. Dans ce cas, le terme correspondant à ˜
s = 1 pose
problème. On le remplace simplement par σ
˜
G
J (δ, a). Par définition de ce dernier
terme, on a dans ce cas ρ
˜
G,E
J (M, δ, a) = ρ
˜
G
J (δ, a).
Proposition (à prouver). Pour tout J ∈J
˜
G
˜
M
, tout δ ∈ D
st
g´ eom (M
,O
)⊗Mes(M
(F ))
∗
et tout a ∈ A ˜
M (F ) en position générale et proche de 1, on a l’égalité
ρ
˜
G,E
J (M
, δ, a) = ρ
˜
G
J (transfert(δ), a).
C’est une soeur de la proposition [II] 2.7 et elle sera prouvée de la même
façon. Sauf pour les classes O exceptionnelles évoquées en [II] 2.7, on prouvera
l’assertion en [III] 7.1 par une méthode de descente. D’autre part, on prouvera en
[III] 7.4 que, pour toute classe O, l’assertion se déduit du théorème 1.16(i). La
proposition pour les classes exceptionnelles résultera donc de ce théorème, dont la
preuve s’achèvera en [X] 7.7.
Variante. Supposons (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Fixons un
système de fonction B. Il s’en déduit un tel système sur les espaces endoscopiques
˜
G
(s) intervenant. En utilisant ces systèmes à la fois sur ˜
G et sur ses espaces
endoscopiques, on définit la variante ρ
˜
G,E
J (M
) pour J ∈ J
˜
G
˜
M
(B O ). Dans ce cas
particulier, on achèvera la preuve de la proposition en [III] 7.5 tout simplement
parce qu’il n’y a pas de classes exceptionnelles dans ce cas.
Variante. Supposons G = ˜
G, a = 1 et O = {1}. Fixons une fonction B comme en
1.8. On définit de même la variante ρ
G,E
J (M
) pour J ∈ J
G
M (B).
II.3.9 Développement des intégrales orbitales pondérées
endoscopiques
Les données sont les mêmes que dans le paragraphe précédent.