II.3. Développements des intégrales orbitales pondérées
293
Montrons que
(1) on a β ◦ ξ ∈ Σ
G (A ˜
M ) pour tout β ∈ Σ
G
횿 (A M , B
˜
G
O ).
On fixe ∈ O
et on applique la construction de la fonction B
˜
G
faite en
1.11. Pour simplifier, on pose B = B
˜
G
. On suppose que les paires de Borel (B, T )
et (B
, T
) sont telles que ˜
M et ˜
M
soient standard. L’isomorphisme ξ ci-dessus
se déduit d’un isomorphisme ξ : t
θ
t
. Un élément β ∈ Σ
G
(A M , B) est la
restriction à a M d’un élément β
∈ Σ
G
(T
, B). Alors β ◦ ξ est la restriction à a ˜
M
de β
◦ ξ. L’élément β
est de la forme α
/B(α
), où α
∈ Σ
G
(T
). On a rappelé en
1.11 la description de cet ensemble, que l’on a décomposé en cas (a) à (d). Dans le
cas (a), on a α
= N α, α
◦ ξ = (N α) ◦ ξ = n α α res , où α res est la restriction de α à
t
θ . Puisque B(α
) = n α , on obtient β
◦ ξ = α res . Dans le cas (b), on a α
= 2N α,
α
◦ ξ = 2n α α res . Puisque B(α
) = 2n α , on a encore β
◦ ξ = α res . Dans le cas (c),
on a encore α
◦ ξ = 2n α α res . Cette fois, B(α
) = n α , d’où β
◦ ξ = 2α res . Mais α
est de type 2 donc n α est pair et l’élément ¯
α = α + θ
nα/2 (α) est de type 3. On a
¯
α res = 2α res , donc β
◦ ξ = ¯
α res . Dans le cas (d), on a α
= N α, α
◦ = n α α res et
B(α
) = 2n α , d’où β
◦ ξ = α res /2. Mais α est de type 3 et il existe une racine α
de type 2 telle que α = α + θ
nα/2 (α). On a α res = 2α res , d’où β
◦ ξ = α res . Ainsi
β
◦ ξ est toujours la restriction à t
θ d’un élément de Σ
G (T ). Il s’ensuit que β ◦ ξ
est la restriction à a ˜
M d’un tel élément. Donc β ◦ ξ ∈ Σ
G (A ˜
M ).
Supposons G
elliptique.
L’application β → β ◦ ξ définit une injection Σ
G
(A M , B
˜
G
O ) → Σ
G (A ˜
M ). Il
s’en déduit une injection J
˜
G
˜
M (B
˜
G
O ) → J
˜
G
˜
M
, que nous noterons simplement J
→ J.
Considérons deux tels éléments J
et J tels que J
→ J. Pour u
∈ U J , la fonction
u
◦ ξ appartient à U J , d’où une injection U J → U J . L’application de transfert
D
st
g´ eom (M
, O
) ⊗ Mes(M
(F ))
∗
→ D g´ eom (O) ⊗ Mes(M (F ))
∗
commute à l’induction. On en déduit qu’elle se factorise en une application
(D
st
g´ eom (M
, O
) ⊗ Mes(M
(F ))
∗ )/ Ann
˜
G
,st
O
→ (D g´ eom (O) ⊗ Mes(M (F ))
∗ )/ Ann
˜
G
O .
On l’appelle encore transfert.
Soit J ∈ J
˜
G
˜
M
. On va définir une application
ρ
˜
G,E
J (M
) : D
st
g´ eom (M
, O
) ⊗ Mes(M
(F ))
∗
→ U J ⊗ (D g´ eom (O) ⊗ Mes(M (F ))
∗ )/ Ann
˜
G
O .
Soit δ ∈ D
st
g´ eom (M
, O
) ⊗ Mes(M
(F ))
∗ . On peut considérer la valeur ρ
˜
G,E
J (M
, δ)
comme un germe d’application de A ˜
M (F ) dans (D g´ eom (O) ⊗ Mes(M (F ))
∗ )/ Ann
˜
G
O
dont on note ρ
˜
G,E
J (M
, δ, a) la valeur en un point a ∈ A ˜
M (F ) en position générale
293
Montrons que
(1) on a β ◦ ξ ∈ Σ
G (A ˜
M ) pour tout β ∈ Σ
G
횿 (A M , B
˜
G
O ).
On fixe ∈ O
et on applique la construction de la fonction B
˜
G
faite en
1.11. Pour simplifier, on pose B = B
˜
G
. On suppose que les paires de Borel (B, T )
et (B
, T
) sont telles que ˜
M et ˜
M
soient standard. L’isomorphisme ξ ci-dessus
se déduit d’un isomorphisme ξ : t
θ
t
. Un élément β ∈ Σ
G
(A M , B) est la
restriction à a M d’un élément β
∈ Σ
G
(T
, B). Alors β ◦ ξ est la restriction à a ˜
M
de β
◦ ξ. L’élément β
est de la forme α
/B(α
), où α
∈ Σ
G
(T
). On a rappelé en
1.11 la description de cet ensemble, que l’on a décomposé en cas (a) à (d). Dans le
cas (a), on a α
= N α, α
◦ ξ = (N α) ◦ ξ = n α α res , où α res est la restriction de α à
t
θ . Puisque B(α
) = n α , on obtient β
◦ ξ = α res . Dans le cas (b), on a α
= 2N α,
α
◦ ξ = 2n α α res . Puisque B(α
) = 2n α , on a encore β
◦ ξ = α res . Dans le cas (c),
on a encore α
◦ ξ = 2n α α res . Cette fois, B(α
) = n α , d’où β
◦ ξ = 2α res . Mais α
est de type 2 donc n α est pair et l’élément ¯
α = α + θ
nα/2 (α) est de type 3. On a
¯
α res = 2α res , donc β
◦ ξ = ¯
α res . Dans le cas (d), on a α
= N α, α
◦ = n α α res et
B(α
) = 2n α , d’où β
◦ ξ = α res /2. Mais α est de type 3 et il existe une racine α
de type 2 telle que α = α + θ
nα/2 (α). On a α res = 2α res , d’où β
◦ ξ = α res . Ainsi
β
◦ ξ est toujours la restriction à t
θ d’un élément de Σ
G (T ). Il s’ensuit que β ◦ ξ
est la restriction à a ˜
M d’un tel élément. Donc β ◦ ξ ∈ Σ
G (A ˜
M ).
Supposons G
elliptique.
L’application β → β ◦ ξ définit une injection Σ
G
(A M , B
˜
G
O ) → Σ
G (A ˜
M ). Il
s’en déduit une injection J
˜
G
˜
M (B
˜
G
O ) → J
˜
G
˜
M
, que nous noterons simplement J
→ J.
Considérons deux tels éléments J
et J tels que J
→ J. Pour u
∈ U J , la fonction
u
◦ ξ appartient à U J , d’où une injection U J → U J . L’application de transfert
D
st
g´ eom (M
, O
) ⊗ Mes(M
(F ))
∗
→ D g´ eom (O) ⊗ Mes(M (F ))
∗
commute à l’induction. On en déduit qu’elle se factorise en une application
(D
st
g´ eom (M
, O
) ⊗ Mes(M
(F ))
∗ )/ Ann
˜
G
,st
O
→ (D g´ eom (O) ⊗ Mes(M (F ))
∗ )/ Ann
˜
G
O .
On l’appelle encore transfert.
Soit J ∈ J
˜
G
˜
M
. On va définir une application
ρ
˜
G,E
J (M
) : D
st
g´ eom (M
, O
) ⊗ Mes(M
(F ))
∗
→ U J ⊗ (D g´ eom (O) ⊗ Mes(M (F ))
∗ )/ Ann
˜
G
O .
Soit δ ∈ D
st
g´ eom (M
, O
) ⊗ Mes(M
(F ))
∗ . On peut considérer la valeur ρ
˜
G,E
J (M
, δ)
comme un germe d’application de A ˜
M (F ) dans (D g´ eom (O) ⊗ Mes(M (F ))
∗ )/ Ann
˜
G
O
dont on note ρ
˜
G,E
J (M
, δ, a) la valeur en un point a ∈ A ˜
M (F ) en position générale