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Chapitre II. Enoncés des résultats
La contribution de ˜
G devient
s∈Z( ˆ
M ) Γ F /Z( ˆ
G) Γ F ,s =1
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))
J∈J
˜
G (s)
˜
M
(BO)
I
˜
G ((transfert(σ
G
(s)
J
(δ, a)))
˜
G , B, f ).
On la récrit comme ci-dessus
J∈J
˜
G
˜
M
(BO)
s∈Z( ˆ
M )
Γ F /Z( ˆ
G)
Γ F ,
s =1,J∈J
˜
G (s)
˜
M
(BO)
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))I
˜
G ((transfert(σ
G
(s)
J
(δ, a)))
˜
G , B, f ).
On a
s∈Z( ˆ
M )
Γ F /Z( ˆ
G)
Γ F ;
J∈J
˜
G (s)
˜
M
(BO)
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s)) transfert(σ
G
(s)
J
(δ, a)) = ρ
˜
G
J (δ, a) − σ
˜
G
J (δ, a)
d’après la définition 3.5(1). La contribution de ˜
G à l’expression (3) est donc
(5)
J∈J
˜
G
˜
M
(BO)
I
˜
G (ρ
˜
G
J (δ, a)
˜
G , B, f ) − I
˜
G (σ
˜
G
J (δ, a)
˜
G , B, f )
.
Considérons enfin l’espace ˜
L = ˜
M . La somme en s disparaît de l’expression (3).
La somme en J se réduit au terme J = ∅. Les termes σ
M
∅ (δ, a) sont tous égaux à
δ. La contribution de ˜
M à l’expression (3) se réduit à la somme en t, qui est alors
(6)
I
˜
G
˜
M
(σ
˜
M
∅ (δ, a), B, f ) − S
˜
G
˜
M
(σ
˜
M
∅ (δ, a), B, f )
par définition de ce dernier terme.
Le membre de droite de (1) est équivalent à la différence entre (2) et la somme
de (4), (5) et (6). On voit que c’est l’expression du (i) de l’énoncé. Cela achève la
preuve.
II.3.8 Termes d’un développement endoscopique
Soient (G, ˜
G, a) un triplet quelconque, ˜
M un espace de Levi de ˜
G, O une classe
de conjugaison stable semi-simple dans ˜
M (F ) et M
= (M
, M
, ˜
ζ) une donnée
endoscopique de (M, ˜
M, a), elliptique et relevante. On note O
la réunion finie
des classes de conjugaison stable semi-simples dans ˜
M
(F ) qui correspondent à
O. Rappelons que l’on a un homomorphisme ξ : A ˜
M → A M dont se déduit un
isomorphisme ξ : a ˜
M → a M .
Soit ˜
s ∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ . Posons simplement G
= G
(˜ s). On dispose
de l’ensemble Σ
G (A ˜
M ) de racines, que l’on peut voir comme des formes linéaires
sur a ˜
M , et on a défini l’espace Σ
G
(A M , B
˜
G
O ) de formes linéaires sur a M .