II.3. Développements des intégrales orbitales pondérées
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Puisque ˜
L = ˜
M , on peut appliquer le théorème 1.16 et l’expression ci-dessus
devient I
˜
G
˜
L
((transfert(σ
L
(s)
J
(δ, a)))
˜
L , f ). Si s = 1, la somme en t n’est pas tout-àfait
I
˜
G,E
˜
L
(L
(s), σ
L
(s)
J
(δ, a)
L
(s) , B, f )
car il manque le terme t = 1. On a L
(s) = L puisque s = 1. Le terme manquant est par définition S
˜
G
˜
L
(σ
˜
L
J (δ, a)
˜
L , B, f ). On obtient que la contribution de ˜
L
à l’expression (3) est
s∈Z( ˆ
M ) Γ F /Z( ˆ
L) Γ F
i ˜
M ( ˜
L, ˜
L
(s))
J∈J
˜
L (s)
˜
M
(BO)
I
˜
G
˜
L
(transfert(σ
L
(s)
J
(δ, a))
˜
L , B, f )
−
J∈J
˜
L
˜
M
(BO)
S
˜
G
˜
L
(σ
˜
L
J (δ, a)
˜
L , B, f ).
On peut récrire la première somme sous la forme
J∈J
˜
L
˜
M
(BO)
s∈Z( ˆ
M )
Γ F /Z( ˆ
L)
Γ F ;
J∈J
˜
L (s)
˜
M
(BO)
i ˜
M ( ˜
L, ˜
L
(s))I
˜
G
˜
L
((transfert(σ
L
(s)
J
(δ, a)))
˜
L , B, f ).
Or
s∈Z( ˆ
M)
Γ F /Z( ˆ
L)
Γ F ;J∈J
˜
L (s)
˜
M
(BO)
i ˜
M ( ˜
L, ˜
L
(s)) transfert(σ
L
(s)
J
(δ, a)) = ρ
˜
L
J (δ, a)
d’après la définition 3.5(1). Donc la contribution de ˜
L à l’expression (3) se réduit à
(4)
J∈J
˜
L
˜
M
(BO)
I
˜
G
˜
L
(ρ
˜
L
J (δ, a)
˜
L , B, f ) − S
˜
G
˜
L
(σ
˜
L
J (δ, a)
˜
L , B, f )
.
Supposons maintenant ˜
L = ˜
G. La somme en t est vide si s = 1 et est réduite au
terme t = s si s = 1. On a dans ce cas i ˜
G (s) ( ˜
G, ˜
G
(s)) = 1. La contribution de ˜
G
s’écrit plus simplement
s∈Z( ˆ
M ) Γ F /Z( ˆ
G) Γ F ,s =1
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))
J∈J
˜
G (s)
˜
M
(BO)
S
G
(s) (σ
G
(s)
J
(δ, a)
G
(s) , B, f
G
(s) ).
Les intégrales stables n’étant plus pondérées, on n’a plus besoin de faire appel au
théorème 1.16 pour obtenir les égalités
S
G
(s) (σ
G
(s)
J
(δ, a)
G
(s) , B, f
G
(s) ) = I
˜
G (transfert(σ
G
(s)
J
(δ, a)
G
(s) ), B, f )
= I
˜
G ((transfert(σ
G
(s)
J
(δ, a)))
˜
G , B, f ).