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Chapitre II. Enoncés des résultats
Pour tout s ∈ Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF , avec s = 1, on peut développer le terme
S
G
(s)
M
(aδ, f
G
(s) ) par la proposition que l’on cherche à prouver, appliquée à G
(s).
On passe sur les formalités permettant d’appliquer cette proposition à une telle
donnée plutôt qu’à un espace ˜
G
(s). On obtient que la somme du membre de droite
de (1) est équivalente à
s∈Z( ˆ
M ) Γ F /Z( ˆ
G) Γ F ,s =1
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))
˜
L
s ∈L
˜
G (s) ( ˜
M)
J∈J
˜
L
s
˜
M
(BO)
S
G
(s)
L (s) (σ
L
(s)
J
(δ, a)
L
(s) , B, f
G
(s) ).
La notation L
(s) est la même que dans la preuve de 2.5. Comme dans la preuve
de la proposition 2.5, on regroupe les couples (s, ˜
L
s ) intervenant selon l’espace de
Levi ˜
L qu’ils déterminent par l’égalité A ˜
L = A ˜
L
s
. L’expression précédente devient
˜
L∈L( ˜
M )
s∈Z( ˆ
M ) Γ F /Z( ˆ
L) Γ F ,L (s) elliptique
J∈J
˜
L (s)
˜
M
(BO)
t∈sZ( ˆ
L) Γ F /Z( ˆ
G) Γ F ,t =1
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(t))S
G
(t)
L (s) (σ
L
(s)
J
(δ, a)
L
(s) , B, f
G
(t) ).
Comme en 2.5, on a l’égalité
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(t)) = i ˜
M ( ˜
L, ˜
L
(s))i ˜
L (s) ( ˜
G, ˜
G
(t))
et l’expression devient
(3)
˜
L∈L( ˜
M)
s∈Z( ˆ
M ) Γ F /Z( ˆ
L) Γ F
i ˜
M ( ˜
L, ˜
L
(s))
J∈J
˜
L (s)
˜
M
(BO)
t∈sZ( ˆ
L) Γ F /Z( ˆ
G) Γ F ,t =1
i ˜
L (s) ( ˜
G, ˜
G
(t))S
G
(t)
L (s) (σ
L
(s)
J
(δ, a)
L
(s) , B, f
G
(t) ).
Fixons ˜
L, s et J et étudions la somme intérieure en t. Supposons d’abord ˜
L = ˜
G
et ˜
L = ˜
M . On sait par récurrence que les termes σ
L
(s)
J
(δ, a)
L
(s) sont stables. Si
s = 1, la somme n’est autre que I
˜
G,E
˜
L
(L
(s), σ
L
(s)
J
(δ, a)
L
(s) , B, f ) ou encore à
I
˜
G,E
˜
L
(transfert(σ
L
(s)
J
(δ, a)
L
(s) ), B, f ).
Le transfert commute à l’induction. Donc
transfert(σ
L
(s)
J
(δ, a)
L
(s) ) = (transfert(σ
L
(s)
J
(δ, a)))
˜
L .