II.3. Développements des intégrales orbitales pondérées
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et
σ
G
J : D
st
unip (M
(F )) ⊗ Mes(M
(F ))
∗
→ U J ⊗ (D unip (M
(F )) ⊗ Mes(M
(F ))
∗ )/ Ann
G
unip .
En reprenant les définitions, on voit que ρ
G
J s’identifie à ρ
G
J . Cette propriété se
propage : σ
G
J s’identifie à σ
G
J .
II.3.7 Développement des intégrales orbitales pondérées stables
On suppose (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. On fixe un système de
fonctions B comme en 1.9. Soient ˜
M un espace de Levi de ˜
G et O une classe de
conjugaison stable semi-simple dans ˜
M (F ).
Proposition.
(i) Pour tout δ ∈ D
st
g´ eom (O)⊗Mes(M (F ))
∗ et pour tout f ∈ I( ˜
G(F ))⊗Mes(G(F )),
le germe en 1 de la fonction
a → S
˜
G
˜
M
(aδ, f ),
qui est définie pour tout a ∈ A M (F ) en position générale, est équivalent à
J∈J
˜
G
˜
M
(BO)
I
˜
G (σ
˜
G
J (δ, a)
˜
G , f ) +
˜
L∈L( ˜
M), ˜
L = ˜
G
J∈J
˜
L
˜
M
(BO)
S
˜
G
˜
L
(σ
˜
L
J (δ, a)
˜
L , B, f ).
(ii) Supposons vérifiée la proposition 3.5. Alors le développement précédent prend
la forme
˜
L∈L( ˜
M )
J∈J
˜
L
˜
M
(BO)
S
˜
G
˜
L
(σ
˜
L
J (δ, a)
˜
L , B, f ).
Preuve. Notons qu’en vertu de 3.5(2) et de nos hypothèses de récurrence, les
termes σ
˜
L
J (δ, a)
˜
L sont stables si ˜
L = ˜
G. Les termes de la formule du (i) ont
donc un sens. Evidemment, si les termes σ
˜
G
J (δ, a)
˜
G sont stables eux-aussi, on peut
remplacer les intégrales orbitales figurant dans cette formule par des intégrales
orbitales stables. Donc (ii) résulte immédiatement de (i).
On part de la définition
(1) S
˜
G
˜
M
(aδ, f ) = I
˜
G
˜
M
(aδ, f) −
s∈Z( ˆ
M )
Γ F /Z( ˆ
G)
Γ F ;
s =1
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))S
G
(s)
M
(aδ, f
G
(s) ).
La proposition 3.4 nous fournit le développement du premier terme : I
˜
G
˜
M
(aδ, f)
est équivalent à
(2)
˜
L∈L( ˜
M)
J∈J
˜
L
˜
M
(BO)
I
˜
G
˜
L
(ρ
˜
L
J (δ, a)
˜
L , B, f ).