II.3. Développements des intégrales orbitales pondérées
287
à ceux de la preuve de 1.10, on montre que l’application σ
˜
G
J se quotiente de même
en une application
σ
˜
G
J,λ
: D
st
g´ eom,λ (O)⊗Mes(M (F ))
∗
→ U J ⊗(D g´ eom,λ (O)⊗Mes(M (F ))
∗ )/ Ann
˜
G
O,λ
.
Considérons d’autres extensions
1 → C → G → G → 1 et ˜
G → ˜
G
un caractère λ de C (F ) et une classe de conjugaison stable O vérifiant des
conditions similaires. On renvoie à [II] 1.10 pour les notations utilisées ci-dessous.
Supposons donné un caractère λ ,, du produit fibré G ,, (F ) dont la restriction à
C (F ) × C (F ) soit λ × λ
−1
. Supposons donné une fonction non nulle ˜
λ ,, sur le
produit fibré ˜
G ,, (F ) qui se transforme selon le caractère λ ,, . A l’aide de cette
fonction, on peut identifier comme en [II] 1.10 tous les espaces intervenant cidessus relatifs aux données indexées par avec les espaces analogues relatifs aux
données indexées par . On vérifie comme en [II] 1.10 que les applications ρ
˜
G
J,λ
et
σ
˜
G
J,λ
s’identifient à ρ
˜
G
J,λ
et σ
˜
G
J,λ
.
On peut aussi remplacer O par une réunion finie de classes de conjugaison
stable semi-simples, pourvu qu’elles vérifient la condition de la remarque 3.4(2)
Comme application, considérons un triplet (G, ˜
G, a), un espace de Levi ˜
M
de ˜
G, une classe de conjugaison stable semi-simple O dans ˜
M (F ), une donnée
endoscopique M
= (M
, M
, ˜
ζ) de (M, ˜
M , a) qui est elliptique et relevante et
un élément ˜
s ∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ . On pose simplement G
= G
(˜ s), G
=
G
(˜ s) etc. . . On suppose G
elliptique. On note O
la réunion finie des classes de
conjugaison stable semi-simples dans ˜
M
(F ) qui correspondent à O.
On considère plus précisément les trois cas suivants :
(1) (G, ˜
G, a) est quelconque, on munit ˜
G
(F ) du système de fonctions B
˜
G que
l’on note simplement B ;
(2) (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure ; on suppose donné un système de fonctions B sur ˜
G(F ), dont on déduit un tel système sur ˜
G
(F ) que
l’on note encore B ;
(3) G = ˜
G et a = 1 ; on suppose O = {1} ; on suppose donnée une fonction B
sur G(F ) comme en 1.8, dont on déduit une telle fonction sur G
(F ) que l’on
note encore B.
Fixons des données auxiliaires G
1 , . . . , Δ 1 pour G
. Pour J ∈ J
˜
G
˜
M (B O ), on
définit comme ci-dessus les applications
ρ
˜
G
1
J,λ1 : D g´ eom,λ1 (O
) ⊗ Mes(M
(F ))
∗
→ U J ⊗ (D g´ eom,λ1 (O
) ⊗ Mes(M
(F ))
∗ )/ Ann
˜
G
1
O ,λ1
287
à ceux de la preuve de 1.10, on montre que l’application σ
˜
G
J se quotiente de même
en une application
σ
˜
G
J,λ
: D
st
g´ eom,λ (O)⊗Mes(M (F ))
∗
→ U J ⊗(D g´ eom,λ (O)⊗Mes(M (F ))
∗ )/ Ann
˜
G
O,λ
.
Considérons d’autres extensions
1 → C → G → G → 1 et ˜
G → ˜
G
un caractère λ de C (F ) et une classe de conjugaison stable O vérifiant des
conditions similaires. On renvoie à [II] 1.10 pour les notations utilisées ci-dessous.
Supposons donné un caractère λ ,, du produit fibré G ,, (F ) dont la restriction à
C (F ) × C (F ) soit λ × λ
−1
. Supposons donné une fonction non nulle ˜
λ ,, sur le
produit fibré ˜
G ,, (F ) qui se transforme selon le caractère λ ,, . A l’aide de cette
fonction, on peut identifier comme en [II] 1.10 tous les espaces intervenant cidessus relatifs aux données indexées par avec les espaces analogues relatifs aux
données indexées par . On vérifie comme en [II] 1.10 que les applications ρ
˜
G
J,λ
et
σ
˜
G
J,λ
s’identifient à ρ
˜
G
J,λ
et σ
˜
G
J,λ
.
On peut aussi remplacer O par une réunion finie de classes de conjugaison
stable semi-simples, pourvu qu’elles vérifient la condition de la remarque 3.4(2)
Comme application, considérons un triplet (G, ˜
G, a), un espace de Levi ˜
M
de ˜
G, une classe de conjugaison stable semi-simple O dans ˜
M (F ), une donnée
endoscopique M
= (M
, M
, ˜
ζ) de (M, ˜
M , a) qui est elliptique et relevante et
un élément ˜
s ∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ . On pose simplement G
= G
(˜ s), G
=
G
(˜ s) etc. . . On suppose G
elliptique. On note O
la réunion finie des classes de
conjugaison stable semi-simples dans ˜
M
(F ) qui correspondent à O.
On considère plus précisément les trois cas suivants :
(1) (G, ˜
G, a) est quelconque, on munit ˜
G
(F ) du système de fonctions B
˜
G que
l’on note simplement B ;
(2) (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure ; on suppose donné un système de fonctions B sur ˜
G(F ), dont on déduit un tel système sur ˜
G
(F ) que
l’on note encore B ;
(3) G = ˜
G et a = 1 ; on suppose O = {1} ; on suppose donnée une fonction B
sur G(F ) comme en 1.8, dont on déduit une telle fonction sur G
(F ) que l’on
note encore B.
Fixons des données auxiliaires G
1 , . . . , Δ 1 pour G
. Pour J ∈ J
˜
G
˜
M (B O ), on
définit comme ci-dessus les applications
ρ
˜
G
1
J,λ1 : D g´ eom,λ1 (O
) ⊗ Mes(M
(F ))
∗
→ U J ⊗ (D g´ eom,λ1 (O
) ⊗ Mes(M
(F ))
∗ )/ Ann
˜
G
1
O ,λ1