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Chapitre II. Enoncés des résultats
mais, grâce à ce que l’on a dit ci-dessus, on les pousse en des applications à valeurs
dans
U J ⊗ (D g´ eom (O) ⊗ Mes(M (F ))
∗ )/ Ann
˜
G
O .
Proposition (à prouver). Pour tout J ∈ J
˜
G
˜
M
(B O ), σ
˜
G
J prend ses valeurs dans
U J ⊗ (D
st
g´ eom (O) ⊗ Mes(M (F ))
∗ )/ Ann
˜
G,st
O
.
Comme la proposition 2.4, elle sera prouvée en [III] 7.6 par une méthode de
descente.
II.3.6 Quelques formalités
On considère un triplet (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure, un système
de fonctions B comme en 1.9, un espace de Levi ˜
M de ˜
G et une classe de conjugaison stable semi-simple O dans ˜
M (F ). Considérons des extensions compatibles
1 → C → G
q
→ G → 1 et ˜
G → ˜
G
où C est un tore central induit et ˜
G est encore à torsion intérieure. On fixe
un caractère λ de C (F ). On note ˜
M l’image réciproque de ˜
M dans ˜
G . On
fixe une classe de conjugaison stable semi-simple O dans M (F ) se projetant sur
O. Le système de fonctions B se relève à G (F ). L’application α → α ◦ q est
une bijection de Σ(A M , B O ) sur Σ(A M , B O ). Via cette bijection, les ensembles
J
˜
G
˜
M
(B O ) et J
˜
G
˜
M
(B O ) s’identifient. Pour un élément J de cet ensemble, on a un
espace U J de germes de fonctions sur A M (F ) et un autre, notons-le U ,J , de germes
de fonctions sur A M (F ). Il est clair que U ,J est formé des composés u ◦ q pour
u ∈ U J . On peut ainsi identifier ces deux espaces. Rappelons que l’on dispose d’un
homomorphisme
D g´ eom ( ˜
M (F )) → D g´ eom,λ ( ˜
M (F )),
cf. 1.10 (3).
Fixons une mesure de Haar sur C (F ), qui permet d’identifier Mes(M (F )) à
Mes(M (F )). On vérifie sur sa définition que l’application ρ
˜
G
J se quotiente en un
homomorphisme ρ
˜
G
J,λ
de sorte que le diagramme suivant soit commutatif
D g´ eom (O ) ⊗ Mes(M (F ))
∗ ρ
˜
G
J
→ U ,J ⊗ (D g´ eom (O ) ⊗ Mes(M (F ))
∗ )/ Ann
˜
G
O
↓
↓
D g´ eom,λ (O) ⊗ Mes(M (F ))
∗
ρ
˜
G
J,λ
→ U J ⊗ (D g´ eom,λ (O) ⊗ Mes(M (F ))
∗ )/ Ann
˜
G
O,λ
avec une définition naturelle du dernier annulateur. On voit que l’application ρ
˜
G
J,λ
ne dépend pas des choix de O et de la mesure sur C (F ). Par des calculs analogues
Chapitre II. Enoncés des résultats
mais, grâce à ce que l’on a dit ci-dessus, on les pousse en des applications à valeurs
dans
U J ⊗ (D g´ eom (O) ⊗ Mes(M (F ))
∗ )/ Ann
˜
G
O .
Proposition (à prouver). Pour tout J ∈ J
˜
G
˜
M
(B O ), σ
˜
G
J prend ses valeurs dans
U J ⊗ (D
st
g´ eom (O) ⊗ Mes(M (F ))
∗ )/ Ann
˜
G,st
O
.
Comme la proposition 2.4, elle sera prouvée en [III] 7.6 par une méthode de
descente.
II.3.6 Quelques formalités
On considère un triplet (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure, un système
de fonctions B comme en 1.9, un espace de Levi ˜
M de ˜
G et une classe de conjugaison stable semi-simple O dans ˜
M (F ). Considérons des extensions compatibles
1 → C → G
q
→ G → 1 et ˜
G → ˜
G
où C est un tore central induit et ˜
G est encore à torsion intérieure. On fixe
un caractère λ de C (F ). On note ˜
M l’image réciproque de ˜
M dans ˜
G . On
fixe une classe de conjugaison stable semi-simple O dans M (F ) se projetant sur
O. Le système de fonctions B se relève à G (F ). L’application α → α ◦ q est
une bijection de Σ(A M , B O ) sur Σ(A M , B O ). Via cette bijection, les ensembles
J
˜
G
˜
M
(B O ) et J
˜
G
˜
M
(B O ) s’identifient. Pour un élément J de cet ensemble, on a un
espace U J de germes de fonctions sur A M (F ) et un autre, notons-le U ,J , de germes
de fonctions sur A M (F ). Il est clair que U ,J est formé des composés u ◦ q pour
u ∈ U J . On peut ainsi identifier ces deux espaces. Rappelons que l’on dispose d’un
homomorphisme
D g´ eom ( ˜
M (F )) → D g´ eom,λ ( ˜
M (F )),
cf. 1.10 (3).
Fixons une mesure de Haar sur C (F ), qui permet d’identifier Mes(M (F )) à
Mes(M (F )). On vérifie sur sa définition que l’application ρ
˜
G
J se quotiente en un
homomorphisme ρ
˜
G
J,λ
de sorte que le diagramme suivant soit commutatif
D g´ eom (O ) ⊗ Mes(M (F ))
∗ ρ
˜
G
J
→ U ,J ⊗ (D g´ eom (O ) ⊗ Mes(M (F ))
∗ )/ Ann
˜
G
O
↓
↓
D g´ eom,λ (O) ⊗ Mes(M (F ))
∗
ρ
˜
G
J,λ
→ U J ⊗ (D g´ eom,λ (O) ⊗ Mes(M (F ))
∗ )/ Ann
˜
G
O,λ
avec une définition naturelle du dernier annulateur. On voit que l’application ρ
˜
G
J,λ
ne dépend pas des choix de O et de la mesure sur C (F ). Par des calculs analogues