II.3. Développements des intégrales orbitales pondérées
285
Remarques.
(2) On peut remplacer O par une réunion finie ∪ i=1,...,n O i de classes de conjugaison semi-simples, pour peu que l’ensemble Σ(A M , B Oi ) ne dépende pas de
i. C’est le cas si O est une classe de conjugaison stable.
(3) Supposons que le système de fonctions B soit le système «trivial», c’est-àdire que la fonction B η soit constante de valeur 1 pour tout η ∈ ˜
G ss (F ).
Les ensembles Σ(A M ) et Σ(A M , B O ) ne coïncident pas pour autant car,
par définition, ce dernier est l’ensemble des éléments du premier qui sont
restrictions d’éléments de Σ
Gη (A Mη ) pour η ∈ O. On a toutefois une injection
J
˜
G
˜
M
(B O ) ⊂ J
˜
G
˜
M
. Il résulte des définitions que, pour J ∈ J
˜
G
˜
M
(B O ), les deux
définitions possibles de ρ
˜
G
J coïncident, tandis que, pour J ∈ J
˜
G
˜
M
− J
˜
G
˜
M
(B O ),
le terme ρ
˜
G
J défini en 3.2 est nul.
II.3.5 Termes d’un développement stable
On conserve la même situation que dans le paragraphe précédent. L’ensemble O
est maintenant une classe de conjugaison stable semi-simple dans ˜
M (F ). On note
Ann
˜
G,st
˜
M
, resp. Ann
˜
G,st
O , l’intersection de Ann
˜
G
˜
M
et de D
st
g´ eom ( ˜
M (F ))⊗Mes(M (F ))
∗ ,
resp. de Ann
˜
G
O et de D
st
g´ eom (O) ⊗ Mes(M (F ))
∗ .
Soit s ∈ Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF . Comme on l’a dit en 1.10, il se déduit du système
de fonctions B un tel système sur ˜
G
(s; F ) que l’on note encore B. Il résulte des
définitions que Σ
G
(s) (A M , B O ) ⊂ Σ
G (A M , B O ). Supposons G
(s) elliptique. Alors
a G (s) = a G et de cette inclusion se déduit une inclusion J
˜
G
(s)
˜
M
(B O ) ⊂ J
˜
G
˜
M
(B O ).
Si J ∈ J
˜
G
(s)
˜
M
(B O ), la preuve du lemme 3.1 s’applique : on a l’inclusion Ann
˜
G
(s)
O
⊂
Ann
˜
G
O . On voit aussi que l’espace U J est unique, sa définition ne dépendant pas
de l’espace ambiant ˜
G ou ˜
G
(s).
Soit J ∈ J
˜
G
˜
M
(B O ). Dans le paragraphe précédent, on a défini une application ρ
˜
G
J sur D g´ eom (O) ⊗ Mes(M (F ))
∗ . Notons ρ
˜
G
J,st sa restriction à D
st
g´ eom (O) ⊗
Mes(M (F ))
∗ . On définit une application
σ J : D
st
g´ eom (O) ⊗ Mes(M (F ))
∗
→ U J ⊗ (D g´ eom (O) ⊗ Mes(M (F ))
∗ )/ Ann
˜
G
O
ou plus précisément σ
˜
G
J par la formule de récurrence
(1)
σ
˜
G
J = ρ J,st −
s∈Z( ˆ
M )
Γ F /Z( ˆ
G)
Γ F ;
s =1, J∈J
˜
G (s)
˜
M
(BO)
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))σ
˜
G
(s)
J
.
Plus exactement, les σ
˜
G
(s)
J
prennent leurs valeurs dans
U J ⊗ (D g´ eom (O) ⊗ Mes(M (F ))
∗ )/ Ann
˜
G
(s)
O
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Remarques.
(2) On peut remplacer O par une réunion finie ∪ i=1,...,n O i de classes de conjugaison semi-simples, pour peu que l’ensemble Σ(A M , B Oi ) ne dépende pas de
i. C’est le cas si O est une classe de conjugaison stable.
(3) Supposons que le système de fonctions B soit le système «trivial», c’est-àdire que la fonction B η soit constante de valeur 1 pour tout η ∈ ˜
G ss (F ).
Les ensembles Σ(A M ) et Σ(A M , B O ) ne coïncident pas pour autant car,
par définition, ce dernier est l’ensemble des éléments du premier qui sont
restrictions d’éléments de Σ
Gη (A Mη ) pour η ∈ O. On a toutefois une injection
J
˜
G
˜
M
(B O ) ⊂ J
˜
G
˜
M
. Il résulte des définitions que, pour J ∈ J
˜
G
˜
M
(B O ), les deux
définitions possibles de ρ
˜
G
J coïncident, tandis que, pour J ∈ J
˜
G
˜
M
− J
˜
G
˜
M
(B O ),
le terme ρ
˜
G
J défini en 3.2 est nul.
II.3.5 Termes d’un développement stable
On conserve la même situation que dans le paragraphe précédent. L’ensemble O
est maintenant une classe de conjugaison stable semi-simple dans ˜
M (F ). On note
Ann
˜
G,st
˜
M
, resp. Ann
˜
G,st
O , l’intersection de Ann
˜
G
˜
M
et de D
st
g´ eom ( ˜
M (F ))⊗Mes(M (F ))
∗ ,
resp. de Ann
˜
G
O et de D
st
g´ eom (O) ⊗ Mes(M (F ))
∗ .
Soit s ∈ Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF . Comme on l’a dit en 1.10, il se déduit du système
de fonctions B un tel système sur ˜
G
(s; F ) que l’on note encore B. Il résulte des
définitions que Σ
G
(s) (A M , B O ) ⊂ Σ
G (A M , B O ). Supposons G
(s) elliptique. Alors
a G (s) = a G et de cette inclusion se déduit une inclusion J
˜
G
(s)
˜
M
(B O ) ⊂ J
˜
G
˜
M
(B O ).
Si J ∈ J
˜
G
(s)
˜
M
(B O ), la preuve du lemme 3.1 s’applique : on a l’inclusion Ann
˜
G
(s)
O
⊂
Ann
˜
G
O . On voit aussi que l’espace U J est unique, sa définition ne dépendant pas
de l’espace ambiant ˜
G ou ˜
G
(s).
Soit J ∈ J
˜
G
˜
M
(B O ). Dans le paragraphe précédent, on a défini une application ρ
˜
G
J sur D g´ eom (O) ⊗ Mes(M (F ))
∗ . Notons ρ
˜
G
J,st sa restriction à D
st
g´ eom (O) ⊗
Mes(M (F ))
∗ . On définit une application
σ J : D
st
g´ eom (O) ⊗ Mes(M (F ))
∗
→ U J ⊗ (D g´ eom (O) ⊗ Mes(M (F ))
∗ )/ Ann
˜
G
O
ou plus précisément σ
˜
G
J par la formule de récurrence
(1)
σ
˜
G
J = ρ J,st −
s∈Z( ˆ
M )
Γ F /Z( ˆ
G)
Γ F ;
s =1, J∈J
˜
G (s)
˜
M
(BO)
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))σ
˜
G
(s)
J
.
Plus exactement, les σ
˜
G
(s)
J
prennent leurs valeurs dans
U J ⊗ (D g´ eom (O) ⊗ Mes(M (F ))
∗ )/ Ann
˜
G
(s)
O