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Chapitre II. Enoncés des résultats
II.3.4 Développement des intégrales orbitales pondérées invariantes
et système de fonctions B
On suppose (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. On fixe un système
de fonctions B comme en 1.9. Soient ˜
M un espace de Levi de ˜
G et O une
classe de conjugaison semi-simple dans ˜
M (F ). Pour η ∈ O, on a défini l’ensemble Σ(A M , B η ) en 1.9. Il ne dépend pas du choix de η, on le note plutôt
Σ(A M , B O ). De nouveau, on peut reprendre les définitions de 3.1 en remplaçant
partout l’ensemble Σ(A ˜
M ) par cet ensemble Σ(A M , B O ). En particulier, on note
J
˜
G
˜
M
(B O ) l’analogue de J
˜
G
˜
M
. Remarquons que cet ensemble peut être vide. En effet, puisque Σ(A M , B O ) est par définition l’ensemble des restrictions d’éléments
de Σ
Gη (A Mη , B η ), il n’existe pas de sous-ensemble linéairement indépendant et de
rang a M − a G si l’ensemble Σ
Gη (A Mη ) est trop petit.
Il y a une différence cruciale avec la situation de 3.1 : pour J ∈ J
˜
G
˜
M
(B O ),
on ne peut plus définir le groupe G J car, pour η ∈ O, la fonction B η n’est définie
que sur un sous-ensemble de l’ensemble de racines de G. L’assertion (i) de la
proposition 3.2 n’a pas d’analogue dans notre situation. On peut toutefois définir
une application
ρ
˜
G
J : D g´ eom (O) ⊗ Mes(M (F ))
∗
→ U J ⊗ (D g´ eom (O) ⊗ Mes(M (F ))
∗ )/ Ann
G
O
de la façon suivante. Par linéarité, il suffit de la définir sur une intégrale orbitale γ
associée à un élément γ dont la partie semi-simple appartient à O. On reprend la
définition 3.2(5), en y remplaçant l’ensemble Σ(A ˜
M ) par Σ(A M , B O ). C’est-à-dire
qu’avec des notations adaptées, on pose
(1)
ρ
˜
G
J (γ, a) =
α∈J
m(α, γ, B O ) sgn(α, γ, B O )u α (a)γ.
Plus exactement, ρ
˜
G
J (γ, a) est l’image de ce terme modulo Ann
G
O . Remarquons
que, si ˜
M = ˜
G, on a ρ
˜
G
∅ (γ, a) = γ. La partie «existence» de la proposition 3.2
reste valable, ce qui conduit à l’énoncé suivant.
Proposition. Pour tout γ ∈ D g´ eom (O) ⊗ Mes(M (F ))
∗ et pour tout f ∈ I( ˜
G(F )) ⊗
Mes(G(F )), le germe en 1 de la fonction
a → I
˜
G
˜
M
(aγ, f ),
qui est définie pour tout a ∈ A ˜
M (F ) en position générale, est équivalent à
˜
L∈L( ˜
M)
J∈J
˜
L
˜
M
(BO)
I
˜
G
˜
L
(ρ
˜
L
J (γ, a)
˜
L , B, f ).
Chapitre II. Enoncés des résultats
II.3.4 Développement des intégrales orbitales pondérées invariantes
et système de fonctions B
On suppose (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. On fixe un système
de fonctions B comme en 1.9. Soient ˜
M un espace de Levi de ˜
G et O une
classe de conjugaison semi-simple dans ˜
M (F ). Pour η ∈ O, on a défini l’ensemble Σ(A M , B η ) en 1.9. Il ne dépend pas du choix de η, on le note plutôt
Σ(A M , B O ). De nouveau, on peut reprendre les définitions de 3.1 en remplaçant
partout l’ensemble Σ(A ˜
M ) par cet ensemble Σ(A M , B O ). En particulier, on note
J
˜
G
˜
M
(B O ) l’analogue de J
˜
G
˜
M
. Remarquons que cet ensemble peut être vide. En effet, puisque Σ(A M , B O ) est par définition l’ensemble des restrictions d’éléments
de Σ
Gη (A Mη , B η ), il n’existe pas de sous-ensemble linéairement indépendant et de
rang a M − a G si l’ensemble Σ
Gη (A Mη ) est trop petit.
Il y a une différence cruciale avec la situation de 3.1 : pour J ∈ J
˜
G
˜
M
(B O ),
on ne peut plus définir le groupe G J car, pour η ∈ O, la fonction B η n’est définie
que sur un sous-ensemble de l’ensemble de racines de G. L’assertion (i) de la
proposition 3.2 n’a pas d’analogue dans notre situation. On peut toutefois définir
une application
ρ
˜
G
J : D g´ eom (O) ⊗ Mes(M (F ))
∗
→ U J ⊗ (D g´ eom (O) ⊗ Mes(M (F ))
∗ )/ Ann
G
O
de la façon suivante. Par linéarité, il suffit de la définir sur une intégrale orbitale γ
associée à un élément γ dont la partie semi-simple appartient à O. On reprend la
définition 3.2(5), en y remplaçant l’ensemble Σ(A ˜
M ) par Σ(A M , B O ). C’est-à-dire
qu’avec des notations adaptées, on pose
(1)
ρ
˜
G
J (γ, a) =
α∈J
m(α, γ, B O ) sgn(α, γ, B O )u α (a)γ.
Plus exactement, ρ
˜
G
J (γ, a) est l’image de ce terme modulo Ann
G
O . Remarquons
que, si ˜
M = ˜
G, on a ρ
˜
G
∅ (γ, a) = γ. La partie «existence» de la proposition 3.2
reste valable, ce qui conduit à l’énoncé suivant.
Proposition. Pour tout γ ∈ D g´ eom (O) ⊗ Mes(M (F ))
∗ et pour tout f ∈ I( ˜
G(F )) ⊗
Mes(G(F )), le germe en 1 de la fonction
a → I
˜
G
˜
M
(aγ, f ),
qui est définie pour tout a ∈ A ˜
M (F ) en position générale, est équivalent à
˜
L∈L( ˜
M)
J∈J
˜
L
˜
M
(BO)
I
˜
G
˜
L
(ρ
˜
L
J (γ, a)
˜
L , B, f ).