II.3. Développements des intégrales orbitales pondérées
283
α ∈ Σ J . Ces ensembles sont des cas particuliers de ceux définis en 1.8(3). Comme
on l’a dit alors, il existe un groupe G J qui admet T
∗ comme tore maximal, dont
le système de racines est Σ J et le système de coracines est ˇ
Σ J . De même qu’on l’a
fait en 1.8 pour les groupes G α , on munit G J d’une structure sur F . Le groupe M
s’identifie à un Levi de G J . Rappelons, comme on l’a vu en 1.8(3), que l’on a les
inclusions Z(G) ⊂ Z(G J ) et Z( ˆ
G) ⊂ Z( ˆ
G J ).
Toutes les propriétés énoncées en 3.1 restent vraies avec ces définitions modifiées. La seule différence est que, pour J ∈ J
G
M (B), le groupe G J n’est plus en
général un sous-groupe de G (les groupes G α de 1.8 en sont des cas particuliers
quand M est propre maximal). Cela ne crée pas de perturbations.
La définition des groupes G J étant peu parlante, donnons une interprétation
intuitive de ces groupes dans le cas où G est quasi-déployé et où son système de
racines est irréductible. Alors, B est constante ou proportionnelle au carré de la
norme. Supposons B constante et même que cette valeur constante vaut 1 car
on voit facilement que la définition de G J ne change pas si on multiplie B et les
éléments de J par une même constante. Dans ce cas la définition de G J est la
même qu’en 3.1. On peut trouver un élément de ζ ∈ A M de sorte que R J soit
égal au réseau des éléments x ∗ ∈ X ∗ (A M ) tels que x ∗ (ζ) = 1. Alors G J est la
composante neutre du commutant de ζ dans G. Supposons maintenant que B soit
proportionnelle au carré de la norme. On voit alors que G J s’obtient encore en
prenant un commutant, mais cette fois dans le groupe dual. Précisément, il existe
un élément ˆ
ζ ∈ Z( ˆ
M )
ΓF ,0 de sorte que G J soit le groupe déployé sur F dont le
groupe dual soit la composante neutre du commutant de ˆ
ζ dans ˆ
G.
L’analogue de la proposition 3.2 reste vraie dans la présente situation, avec
la même preuve. Enonçons-la, avec des notations évidentes.
Proposition. Pour tout J ∈ J
G
M (B), il existe une unique application linéaire ρ
G
J :
D unip (M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗
→ U J ⊗ (D unip (M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ )/ Ann
G
unip de
sorte que les propriétés suivantes soient vérifiées.
(i) L’application ρ
G
J est la composée de ρ
GJ
J
et de la projection
U J ⊗ (D unip (M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ )/ Ann
GJ
unip
→ U J ⊗ (D unip (M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ )/ Ann
G
unip .
(ii) Pour tout γ ∈ D unip (M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ et pour tout f ∈ I(G(F )) ⊗
Mes(G(F )), le germe en 1 de la fonction
a → I
G
M (aγ, f ),
qui est définie pour tout a ∈ A M (F ) en position générale, est équivalent à
L∈L(M)
J∈J G
M (B)
I
G
L (ρ
L
J (γ, a)
L , B, f ).
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α ∈ Σ J . Ces ensembles sont des cas particuliers de ceux définis en 1.8(3). Comme
on l’a dit alors, il existe un groupe G J qui admet T
∗ comme tore maximal, dont
le système de racines est Σ J et le système de coracines est ˇ
Σ J . De même qu’on l’a
fait en 1.8 pour les groupes G α , on munit G J d’une structure sur F . Le groupe M
s’identifie à un Levi de G J . Rappelons, comme on l’a vu en 1.8(3), que l’on a les
inclusions Z(G) ⊂ Z(G J ) et Z( ˆ
G) ⊂ Z( ˆ
G J ).
Toutes les propriétés énoncées en 3.1 restent vraies avec ces définitions modifiées. La seule différence est que, pour J ∈ J
G
M (B), le groupe G J n’est plus en
général un sous-groupe de G (les groupes G α de 1.8 en sont des cas particuliers
quand M est propre maximal). Cela ne crée pas de perturbations.
La définition des groupes G J étant peu parlante, donnons une interprétation
intuitive de ces groupes dans le cas où G est quasi-déployé et où son système de
racines est irréductible. Alors, B est constante ou proportionnelle au carré de la
norme. Supposons B constante et même que cette valeur constante vaut 1 car
on voit facilement que la définition de G J ne change pas si on multiplie B et les
éléments de J par une même constante. Dans ce cas la définition de G J est la
même qu’en 3.1. On peut trouver un élément de ζ ∈ A M de sorte que R J soit
égal au réseau des éléments x ∗ ∈ X ∗ (A M ) tels que x ∗ (ζ) = 1. Alors G J est la
composante neutre du commutant de ζ dans G. Supposons maintenant que B soit
proportionnelle au carré de la norme. On voit alors que G J s’obtient encore en
prenant un commutant, mais cette fois dans le groupe dual. Précisément, il existe
un élément ˆ
ζ ∈ Z( ˆ
M )
ΓF ,0 de sorte que G J soit le groupe déployé sur F dont le
groupe dual soit la composante neutre du commutant de ˆ
ζ dans ˆ
G.
L’analogue de la proposition 3.2 reste vraie dans la présente situation, avec
la même preuve. Enonçons-la, avec des notations évidentes.
Proposition. Pour tout J ∈ J
G
M (B), il existe une unique application linéaire ρ
G
J :
D unip (M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗
→ U J ⊗ (D unip (M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ )/ Ann
G
unip de
sorte que les propriétés suivantes soient vérifiées.
(i) L’application ρ
G
J est la composée de ρ
GJ
J
et de la projection
U J ⊗ (D unip (M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ )/ Ann
GJ
unip
→ U J ⊗ (D unip (M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ )/ Ann
G
unip .
(ii) Pour tout γ ∈ D unip (M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ et pour tout f ∈ I(G(F )) ⊗
Mes(G(F )), le germe en 1 de la fonction
a → I
G
M (aγ, f ),
qui est définie pour tout a ∈ A M (F ) en position générale, est équivalent à
L∈L(M)
J∈J G
M (B)
I
G
L (ρ
L
J (γ, a)
L , B, f ).