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Chapitre II. Enoncés des résultats
Dans le cas particulier où ˜
L = ˜
M , auquel cas α est l’ensemble vide, on admet par
convention que les trois termes que l’on vient de définir valent 1. Alors le lemme
7.1 de [3] entraîne l’égalité
r
˜
L
˜
M
(γ, a) =
α
m(α, γ) sgn(α, γ)u α (a),
où on somme sur les ensembles α décrits ci-dessus. L’ensemble de ces ensembles
n’est autre que la réunion des J ∈ J
˜
L
˜
M
. Pour tout J ∈ J
˜
G
˜
M
, posons
(5)
ρ
˜
G
J (γ, a) =
α∈J
m(α, γ) sgn(α, γ)u α (a)γ.
C’est un élément de U J ⊗ D g´ eom (O, ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ . Alors la somme (3) devient
˜
L∈L( ˜
M)
J∈J
˜
L
˜
M
I
˜
G
˜
L
(ρ
˜
L
J (γ, a)
˜
L , f ).
Puisque la somme (3) est, à équivalence près, le germe de I
˜
G
˜
M
(aγ, f ), on a obtenu
l’assertion (ii) de l’énoncé. L’assertion (i) est immédiate d’après la définition de
ρ
˜
G
J (γ, a) et 1.5(4).
On a
(6) si ˜
M = ˜
G, ρ
˜
G
∅ est l’identité, modulo l’isomorphisme U ∅ C.
C’est immédiat sur la définition (5).
II.3.3 Développement des intégrales orbitales pondérées invariantes
et fonction B
On suppose G = ˜
G et a = 1. On fixe une fonction B comme en 1.8. Soit M un Levi
de G. On dispose alors de l’ensemble Σ(A M , B). On peut reprendre les définitions
de 3.1 en remplaçant partout l’ensemble Σ(A ˜
M ) par cet ensemble Σ(A M , B). En
particulier, on note J
G
M (B) l’analogue de J
˜
G
˜
M
. Un élément de J
G
M (B) est une classe
d’équivalence de sous-ensembles {α i ; i = 1, . . . , n} de Σ(A M , B). Pour J ∈ J
G
M (B),
l’espace U J est maintenant celui des germes au point 1 de fonctions définies presque
partout sur A M (F ) engendré linéairement par les germes
a = exp(H) →
i=1,...,n
log(| exp(H, α i ) − exp(− −H, α i )| F )
pour les ensembles {α i ; i = 1, . . . , n} appartenant à J. On note Σ J l’ensemble des
racines α ∈ Σ(T
∗ ) telles que la restriction de B(α)
−1 α à a M appartienne au réseau
R J engendré par les éléments de J. On note ˇ
Σ J l’ensemble des coracines ˇ
α pour
Chapitre II. Enoncés des résultats
Dans le cas particulier où ˜
L = ˜
M , auquel cas α est l’ensemble vide, on admet par
convention que les trois termes que l’on vient de définir valent 1. Alors le lemme
7.1 de [3] entraîne l’égalité
r
˜
L
˜
M
(γ, a) =
α
m(α, γ) sgn(α, γ)u α (a),
où on somme sur les ensembles α décrits ci-dessus. L’ensemble de ces ensembles
n’est autre que la réunion des J ∈ J
˜
L
˜
M
. Pour tout J ∈ J
˜
G
˜
M
, posons
(5)
ρ
˜
G
J (γ, a) =
α∈J
m(α, γ) sgn(α, γ)u α (a)γ.
C’est un élément de U J ⊗ D g´ eom (O, ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ . Alors la somme (3) devient
˜
L∈L( ˜
M)
J∈J
˜
L
˜
M
I
˜
G
˜
L
(ρ
˜
L
J (γ, a)
˜
L , f ).
Puisque la somme (3) est, à équivalence près, le germe de I
˜
G
˜
M
(aγ, f ), on a obtenu
l’assertion (ii) de l’énoncé. L’assertion (i) est immédiate d’après la définition de
ρ
˜
G
J (γ, a) et 1.5(4).
On a
(6) si ˜
M = ˜
G, ρ
˜
G
∅ est l’identité, modulo l’isomorphisme U ∅ C.
C’est immédiat sur la définition (5).
II.3.3 Développement des intégrales orbitales pondérées invariantes
et fonction B
On suppose G = ˜
G et a = 1. On fixe une fonction B comme en 1.8. Soit M un Levi
de G. On dispose alors de l’ensemble Σ(A M , B). On peut reprendre les définitions
de 3.1 en remplaçant partout l’ensemble Σ(A ˜
M ) par cet ensemble Σ(A M , B). En
particulier, on note J
G
M (B) l’analogue de J
˜
G
˜
M
. Un élément de J
G
M (B) est une classe
d’équivalence de sous-ensembles {α i ; i = 1, . . . , n} de Σ(A M , B). Pour J ∈ J
G
M (B),
l’espace U J est maintenant celui des germes au point 1 de fonctions définies presque
partout sur A M (F ) engendré linéairement par les germes
a = exp(H) →
i=1,...,n
log(| exp(H, α i ) − exp(− −H, α i )| F )
pour les ensembles {α i ; i = 1, . . . , n} appartenant à J. On note Σ J l’ensemble des
racines α ∈ Σ(T
∗ ) telles que la restriction de B(α)
−1 α à a M appartienne au réseau
R J engendré par les éléments de J. On note ˇ
Σ J l’ensemble des coracines ˇ
α pour