II.3. Développements des intégrales orbitales pondérées
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Preuve de l’existence. Par linéarité, on peut se limiter à prouver l’existence des
germes ρ J (γ, a) quand γ est l’intégrale orbitale associée à un élément γ dont la
partie semi-simple appartient à O. Montrons qu’alors, pour tout f , le germe en 1
de la fonction a → I
˜
G
˜
M
(aγ, f ) est équivalent à celui de la fonction qui à a associe
(3)
˜
L∈L( ˜
M)
(−1)
a ˜
M −a ˜
L r
˜
L
˜
M
(γ, a)I
˜
G
˜
L
(γ
˜
L , f ).
Comme on le rappellera ci-dessous, les termes r
˜
L
˜
M
(γ, a) sont des combinaisons
linéaires de produits de termes log(|α(a)−α(a)
−1
| F ) pour α ∈ Σ(A ˜
M ). En utilisant
les relations 1.7(12) et 3.1(1), on voit que la fonction (3) ci-dessus est équivalente à
˜
L∈L( ˜
M )
(−1)
a ˜
M −a ˜
L r
˜
L
˜
M
(γ, a)
˜
R∈L( ˜
L)
r
˜
R
˜
L
(γ, a)I
˜
G
˜
R
(aγ, f ),
ou encore à
˜
R∈L( ˜
M)
t
˜
R
˜
M
(γ, a)I
˜
G
˜
R
(aγ, f ),
où
t
˜
R
˜
M
(γ, a) =
˜
L∈L
˜
R ( ˜
M)
(−1)
a ˜
M −a ˜
L r
˜
L
˜
M
(γ, a)r
˜
R
˜
L
(γ, a).
Pour en déduire l’assertion ci-dessus, il suffit de prouver que
(4)
t
˜
R
˜
M
(γ, a) =
0, si ˜
R = ˜
M,
1, si ˜
R = ˜
M.
Définissons la ( ˜
G, ˜
M )-famille (r
˜
P
(γ, a; λ)) ˜
P ∈P( ˜
M) par
r
˜
P
(γ, a; λ) = r ˜
P (γ, a; −λ) = r ˜
P (γ, a; λ)
−1 .
La première égalité entraîne que r
˜
L
˜
M
(γ, a) = (−1)
a ˜
M −a ˜
L r
˜
L
˜
M
(γ, a). Donc,
par une formule usuelle, t
˜
R
˜
M
(γ, a) est la fonction associée à la famille produit
(r
˜
P
(γ, a; λ)r ˜
P (γ, a; λ)) ˜
P ∈P( ˜
M) . Or celle-ci est une famille de fonctions constantes
de valeur 1, d’où l’égalité (4).
La famille (r ˜
P (γ, a; λ)) ˜
P ∈P( ˜
M) est d’une forme particulière qui permet le calcul des fonctions r
˜
L
˜
M
(γ, a). Précisément, pour toute base α = {α i ; i = 1, . . . , n} de
A
˜
L
˜
M
formée d’éléments de Σ
˜
L (A ˜
M ), notons m(α; γ) le volume du quotient de A
˜
L
˜
M
par le Z-module engendré par les ρ(α i , γ) (cf. 1.5), avec la convention m(α, γ) = 0
si l’un de ces éléments est nul. Notons aussi sgn(α, γ) le produit des signes des
nombres réels α i , ρ(α i , γ) (avec la même convention). Et notons u α la fonction
sur A ˜
M (F ) définie par
u α (a) =
i=1,...,n
log(|α i (a) − α i (a)
−1
| F ).
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Preuve de l’existence. Par linéarité, on peut se limiter à prouver l’existence des
germes ρ J (γ, a) quand γ est l’intégrale orbitale associée à un élément γ dont la
partie semi-simple appartient à O. Montrons qu’alors, pour tout f , le germe en 1
de la fonction a → I
˜
G
˜
M
(aγ, f ) est équivalent à celui de la fonction qui à a associe
(3)
˜
L∈L( ˜
M)
(−1)
a ˜
M −a ˜
L r
˜
L
˜
M
(γ, a)I
˜
G
˜
L
(γ
˜
L , f ).
Comme on le rappellera ci-dessous, les termes r
˜
L
˜
M
(γ, a) sont des combinaisons
linéaires de produits de termes log(|α(a)−α(a)
−1
| F ) pour α ∈ Σ(A ˜
M ). En utilisant
les relations 1.7(12) et 3.1(1), on voit que la fonction (3) ci-dessus est équivalente à
˜
L∈L( ˜
M )
(−1)
a ˜
M −a ˜
L r
˜
L
˜
M
(γ, a)
˜
R∈L( ˜
L)
r
˜
R
˜
L
(γ, a)I
˜
G
˜
R
(aγ, f ),
ou encore à
˜
R∈L( ˜
M)
t
˜
R
˜
M
(γ, a)I
˜
G
˜
R
(aγ, f ),
où
t
˜
R
˜
M
(γ, a) =
˜
L∈L
˜
R ( ˜
M)
(−1)
a ˜
M −a ˜
L r
˜
L
˜
M
(γ, a)r
˜
R
˜
L
(γ, a).
Pour en déduire l’assertion ci-dessus, il suffit de prouver que
(4)
t
˜
R
˜
M
(γ, a) =
0, si ˜
R = ˜
M,
1, si ˜
R = ˜
M.
Définissons la ( ˜
G, ˜
M )-famille (r
˜
P
(γ, a; λ)) ˜
P ∈P( ˜
M) par
r
˜
P
(γ, a; λ) = r ˜
P (γ, a; −λ) = r ˜
P (γ, a; λ)
−1 .
La première égalité entraîne que r
˜
L
˜
M
(γ, a) = (−1)
a ˜
M −a ˜
L r
˜
L
˜
M
(γ, a). Donc,
par une formule usuelle, t
˜
R
˜
M
(γ, a) est la fonction associée à la famille produit
(r
˜
P
(γ, a; λ)r ˜
P (γ, a; λ)) ˜
P ∈P( ˜
M) . Or celle-ci est une famille de fonctions constantes
de valeur 1, d’où l’égalité (4).
La famille (r ˜
P (γ, a; λ)) ˜
P ∈P( ˜
M) est d’une forme particulière qui permet le calcul des fonctions r
˜
L
˜
M
(γ, a). Précisément, pour toute base α = {α i ; i = 1, . . . , n} de
A
˜
L
˜
M
formée d’éléments de Σ
˜
L (A ˜
M ), notons m(α; γ) le volume du quotient de A
˜
L
˜
M
par le Z-module engendré par les ρ(α i , γ) (cf. 1.5), avec la convention m(α, γ) = 0
si l’un de ces éléments est nul. Notons aussi sgn(α, γ) le produit des signes des
nombres réels α i , ρ(α i , γ) (avec la même convention). Et notons u α la fonction
sur A ˜
M (F ) définie par
u α (a) =
i=1,...,n
log(|α i (a) − α i (a)
−1
| F ).