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Chapitre II. Enoncés des résultats
Proposition. Pour tout J ∈ J
˜
G
˜
M
, il existe une unique application linéaire ρ
˜
G
J :
D g´ eom (O, ω)⊗ Mes(M (F ))
∗
→ U J ⊗ (D g´ eom (O, ω)⊗ Mes(M (F ))
∗ )/ Ann
˜
G
O de sorte
que les propriétés suivantes soient vérifiées.
(i) L’application ρ
˜
G
J est la composée de ρ
˜
GJ
J
et de la projection
U J ⊗ (D g´ eom (O, ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ )/ Ann
˜
GJ
O
→ U J ⊗ (D g´ eom (O, ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ )/ Ann
˜
G
O ;
(ii) Pour tout γ ∈ D g´ eom (O, ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ et pour tout f ∈ I( ˜
G(F ), ω) ⊗
Mes(G(F )), le germe en 1 de la fonction
a → I
˜
G
˜
M
(aγ, f ),
qui est définie pour tout a ∈ A ˜
M (F ) en position générale, est équivalent à
˜
L∈L( ˜
M)
J∈J
˜
L
˜
M
I
˜
G
˜
L
(ρ
˜
L
J (γ, a)
˜
L , f ).
Remarques.
(1) Le terme ρ
˜
G
J (γ) définit un germe de fonction sur A ˜
M (F ) à valeurs dans
(D g´ eom (O, ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ )/ Ann
˜
G
O . On a noté ρ
˜
G
J (γ, a) la valeur en a de
ce germe.
(2) La proposition équivaut à dire que le germe de la fonction a → g
˜
G
˜
M,O
(aγ) est
équivalent à
J∈J
˜
G
˜
M
ρ
˜
G
J (γ, a)
˜
G .
Preuve de l’unicité. On raisonne par récurrence sur la dimension de G. Pour ˜
L ∈
L( ˜
M ), ˜
L = ˜
G et J ∈ J
˜
L
˜
M
, l’application ρ
˜
L
J est déjà déterminée. Pour J ∈ J
˜
G
˜
M
non maximal, l’application ρ
˜
G
J est uniquement déterminée par la condition (i). Il
reste à déterminer ρ
˜
G
J pour l’unique élément maximal de J
˜
G
˜
M
. Pour ce J, fixons
une base (u k ) k=1,...,m de U J . On peut écrire ρ
˜
G
J (γ, a) =
k=1,...,m u k (a)γ k , avec
des éléments γ k ∈ D g´ eom (O, ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ . L’égalité du (ii) détermine à équivalence près le germe de la fonction I
˜
G (ρ
˜
G
J (γ, a)
˜
G , f ) pour tout f , c’est-à-dire de
la fonction
k=1,...,m
u k (a)I
˜
G (γ
˜
G
k , f ).
D’après 3.1(3), cela détermine les distributions γ
˜
G
k , ce qui est équivalent à déterminer les distributions γ k modulo Ann
˜
G
O .