II.3. Développements des intégrales orbitales pondérées
279
Soit J ∈ J
˜
G
˜
M
. On a Σ
˜
GJ (A ˜
M ) ⊂ Σ
˜
G (A ˜
M ). L’ensemble J
˜
GJ
˜
M
s’identifie au
sous-ensemble des J
∈ J
˜
G
˜
M
qui contiennent une famille formée d’éléments de
Σ
˜
GJ (A ˜
M ), ou encore, ce qui revient au même, dont tous les éléments sont des
familles formées d’éléments de Σ
˜
GJ (A ˜
M ). Pour J
∈ J
˜
GJ
˜
M
, l’espace U J ne dépend
pas de l’espace ambiant ˜
G ou ˜
G J . Cas particulier : J s’identifie à l’élément maximal
de J
˜
GJ
˜
M
.
Notons Ann
˜
G
˜
M
l’annulateur de l’homomorphisme d’induction
D g´ eom ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗
→ D g´ eom ( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F ))
∗ .
Lemme. Pour tout J ∈ J
˜
G
˜
M
, on a l’inclusion Ann
˜
GJ
˜
M
⊂ Ann
˜
G
˜
M
.
Preuve. On fixe des mesures sur chaque groupe. Il est équivalent de prouver que
l’image de l’application
res
˜
G
˜
M
: I( ˜
G(F ), ω) → I( ˜
M (F ), ω)
f
𨐽 →
f ˜
M,ω
est contenue dans celle de l’application res
˜
GJ
˜
M
. On fixe un espace de Levi minimal
˜
M 0 ⊂ ˜
M et un espace parabolique ˜
P 0 ∈ P( ˜
M 0 ) de sorte que ˜
M soit standard.
D’après [I] lemme 4.3, l’image de res
˜
G
˜
M
est formée des ϕ ∈ I( ˜
M (F ), ω) qui vérifient
la condition suivante :
– pour deux espaces de Levi ˜
R, ˜
R
∈ L
˜
M ( ˜
M 0 ) et pour w ∈ W
G ( ˜
M 0 ) tel
que w( ˜
R) = ˜
R
, la fonction ϕ ˜
R ,ω est l’image de ϕ ˜
R,ω par l’isomorphisme
I( ˜
R(F ), ω) → I( ˜
R
(F ), ω) déduit de w.
En appliquant la même caractérisation pour ˜
G J , l’assertion résulte simplement de l’inclusion W
GJ ( ˜
M 0 ) ⊂ W
G ( ˜
M 0 ). Pour prouver celle-ci, identifions la
paire de Borel de G à une paire (B
∗ , T
∗ ) telle que B
∗
⊂ P 0 , T
∗
⊂ M 0 . Notons
W
G le groupe de Weyl de T
∗ et Norm W G (M 0 ) l’ensemble des éléments de W
G
qui conservent M 0 . La paire de Borel détermine un automorphisme θ de W
G et
l’action galoisienne quasi-déployée sur cette paire détermine une action de Γ F sur
W
G . Alors W
G ( ˜
M 0 ) est isomorphe au sous-groupe des invariants par Γ F et θ dans
le quotient Norm W G (M 0 )/W
M0 . L’assertion à prouver résulte alors des faits que
W
GJ est un sous-groupe de W
G (parce que le système de racines de G J est un
sous-système de celui de G) et que cette inclusion est équivariante pour les actions
de θ et de Γ F .
II.3.2 Un développement des intégrales pondérées ω-équivariantes
Soient (G, ˜
G, a) un triplet quelconque, ˜
M un espace de Levi de ˜
G et O une classe
de conjugaison semi-simple dans ˜
M (F ). On pose Ann
˜
G
O = Ann
˜
G
˜
M
∩(D g´ eom (O, ω) ⊗
Mes(M (F ))
∗ .
279
Soit J ∈ J
˜
G
˜
M
. On a Σ
˜
GJ (A ˜
M ) ⊂ Σ
˜
G (A ˜
M ). L’ensemble J
˜
GJ
˜
M
s’identifie au
sous-ensemble des J
∈ J
˜
G
˜
M
qui contiennent une famille formée d’éléments de
Σ
˜
GJ (A ˜
M ), ou encore, ce qui revient au même, dont tous les éléments sont des
familles formées d’éléments de Σ
˜
GJ (A ˜
M ). Pour J
∈ J
˜
GJ
˜
M
, l’espace U J ne dépend
pas de l’espace ambiant ˜
G ou ˜
G J . Cas particulier : J s’identifie à l’élément maximal
de J
˜
GJ
˜
M
.
Notons Ann
˜
G
˜
M
l’annulateur de l’homomorphisme d’induction
D g´ eom ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗
→ D g´ eom ( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F ))
∗ .
Lemme. Pour tout J ∈ J
˜
G
˜
M
, on a l’inclusion Ann
˜
GJ
˜
M
⊂ Ann
˜
G
˜
M
.
Preuve. On fixe des mesures sur chaque groupe. Il est équivalent de prouver que
l’image de l’application
res
˜
G
˜
M
: I( ˜
G(F ), ω) → I( ˜
M (F ), ω)
f
𨐽 →
f ˜
M,ω
est contenue dans celle de l’application res
˜
GJ
˜
M
. On fixe un espace de Levi minimal
˜
M 0 ⊂ ˜
M et un espace parabolique ˜
P 0 ∈ P( ˜
M 0 ) de sorte que ˜
M soit standard.
D’après [I] lemme 4.3, l’image de res
˜
G
˜
M
est formée des ϕ ∈ I( ˜
M (F ), ω) qui vérifient
la condition suivante :
– pour deux espaces de Levi ˜
R, ˜
R
∈ L
˜
M ( ˜
M 0 ) et pour w ∈ W
G ( ˜
M 0 ) tel
que w( ˜
R) = ˜
R
, la fonction ϕ ˜
R ,ω est l’image de ϕ ˜
R,ω par l’isomorphisme
I( ˜
R(F ), ω) → I( ˜
R
(F ), ω) déduit de w.
En appliquant la même caractérisation pour ˜
G J , l’assertion résulte simplement de l’inclusion W
GJ ( ˜
M 0 ) ⊂ W
G ( ˜
M 0 ). Pour prouver celle-ci, identifions la
paire de Borel de G à une paire (B
∗ , T
∗ ) telle que B
∗
⊂ P 0 , T
∗
⊂ M 0 . Notons
W
G le groupe de Weyl de T
∗ et Norm W G (M 0 ) l’ensemble des éléments de W
G
qui conservent M 0 . La paire de Borel détermine un automorphisme θ de W
G et
l’action galoisienne quasi-déployée sur cette paire détermine une action de Γ F sur
W
G . Alors W
G ( ˜
M 0 ) est isomorphe au sous-groupe des invariants par Γ F et θ dans
le quotient Norm W G (M 0 )/W
M0 . L’assertion à prouver résulte alors des faits que
W
GJ est un sous-groupe de W
G (parce que le système de racines de G J est un
sous-système de celui de G) et que cette inclusion est équivariante pour les actions
de θ et de Γ F .
II.3.2 Un développement des intégrales pondérées ω-équivariantes
Soient (G, ˜
G, a) un triplet quelconque, ˜
M un espace de Levi de ˜
G et O une classe
de conjugaison semi-simple dans ˜
M (F ). On pose Ann
˜
G
O = Ann
˜
G
˜
M
∩(D g´ eom (O, ω) ⊗
Mes(M (F ))
∗ .