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Chapitre II. Enoncés des résultats
On a
(2) soit u ∈
˜
L∈L( ˜
M )
J∈J
˜
L
˜
M
U J ; supposons u équivalent à 0 ; alors u = 0.
Preuve. Comme plus haut, on peut descendre via l’exponentielle le germe u en
un germe de fonction sur a ˜
M (F ) au voisinage de 0. Pour ˜
L ∈ L( ˜
M ), J ∈ J
˜
L
˜
M
et
α = {α i ; i = 1, . . . , n} ∈ J, on note u α la fonction définie presque partout sur
a ˜
M (F ) par
u α (H) =
i=1,...,n
log(|2α i (H)| F ).
Alors u est combinaison linéaire de telles fonctions. Soit H ∈ a ˜
M (F ) en position
générale. Fixons une uniformisante F de F . Pour k ∈ Z et α ∈ Σ(A ˜
M ), on a
log(|2α(
k
F H)| F ) = −k log(q) + log(|2α(H)| F ),
où q est le nombre d’éléments du corps résiduel. Il en résulte que u(
k
F H) est
un polynôme en k. Les éléments
k
F H, pour k ≥ 0, restent dans un domaine
admissible. Puisque u est équivalent à 0, on a donc lim k→∞ u(
k
F H) = 0. Mais un
polynôme en k qui tend vers 0 quand k tend vers l’infini est nul. Donc u(𨐾
k
F H) = 0
pour tout k. En particulier, pour k = 0, u(H) = 0. L’élément H étant quelconque
dans un ouvert dense, on a u = 0.
On a
(3) supposons ˜
M = ˜
G ; soient J ∈ J
˜
G
˜
M
et u ∈ U J ; supposons que u soit équivalent
à une constante ; alors u = 0 et cette constante est nulle.
Preuve. Notons c cette constante. Rappelons que C s’identifie à l’espace U ∅ associé
à l’élément vide de J
˜
M
˜
M
. On peut donc appliquer (2) à u − c, d’où u − c = 0. On
descend les fonctions en des fonctions sur a ˜
M (F ) et on utilise les notations de
la preuve de (2). On écrit u =
α∈J c α u α , avec des coefficients complexes c α .
Fixons un point H en position générale. Pour α = {α i ; i = 1, . . . , n}, β = {β i ; i =
1, . . . , n} ∈ J, les α i (H) se déduisent des β i (H) par une matrice à coefficients
entiers. Donc
sup
i=1,...,n
(|α i (H)| F ) ≤ sup
i=1,...,n
(|β i (H)| F ).
On peut échanger les rôles de α et β. Donc les deux sup sont égaux. Quitte à
multiplier H par une puissance convenable de F , on peut supposer que ces sup
valent 1. Mais alors u α (H) = 0 pour tout α ∈ J. Donc u(H) = 0. L’égalité u−c = 0
entraîne c = 0, puis u = 0.
L’ensemble J
˜
G
˜
M
contient un unique élément J tel que R J contienne Σ(A ˜
M )
tout entier. C’est celui qui contient tout ensemble {α i ; i = 1, . . . , n} formant une
base de Σ(A ˜
M ) pour un certain ordre. On dit que cet élément J est l’élément
maximal de J
˜
G
˜
M
.
Chapitre II. Enoncés des résultats
On a
(2) soit u ∈
˜
L∈L( ˜
M )
J∈J
˜
L
˜
M
U J ; supposons u équivalent à 0 ; alors u = 0.
Preuve. Comme plus haut, on peut descendre via l’exponentielle le germe u en
un germe de fonction sur a ˜
M (F ) au voisinage de 0. Pour ˜
L ∈ L( ˜
M ), J ∈ J
˜
L
˜
M
et
α = {α i ; i = 1, . . . , n} ∈ J, on note u α la fonction définie presque partout sur
a ˜
M (F ) par
u α (H) =
i=1,...,n
log(|2α i (H)| F ).
Alors u est combinaison linéaire de telles fonctions. Soit H ∈ a ˜
M (F ) en position
générale. Fixons une uniformisante F de F . Pour k ∈ Z et α ∈ Σ(A ˜
M ), on a
log(|2α(
k
F H)| F ) = −k log(q) + log(|2α(H)| F ),
où q est le nombre d’éléments du corps résiduel. Il en résulte que u(
k
F H) est
un polynôme en k. Les éléments
k
F H, pour k ≥ 0, restent dans un domaine
admissible. Puisque u est équivalent à 0, on a donc lim k→∞ u(
k
F H) = 0. Mais un
polynôme en k qui tend vers 0 quand k tend vers l’infini est nul. Donc u(𨐾
k
F H) = 0
pour tout k. En particulier, pour k = 0, u(H) = 0. L’élément H étant quelconque
dans un ouvert dense, on a u = 0.
On a
(3) supposons ˜
M = ˜
G ; soient J ∈ J
˜
G
˜
M
et u ∈ U J ; supposons que u soit équivalent
à une constante ; alors u = 0 et cette constante est nulle.
Preuve. Notons c cette constante. Rappelons que C s’identifie à l’espace U ∅ associé
à l’élément vide de J
˜
M
˜
M
. On peut donc appliquer (2) à u − c, d’où u − c = 0. On
descend les fonctions en des fonctions sur a ˜
M (F ) et on utilise les notations de
la preuve de (2). On écrit u =
α∈J c α u α , avec des coefficients complexes c α .
Fixons un point H en position générale. Pour α = {α i ; i = 1, . . . , n}, β = {β i ; i =
1, . . . , n} ∈ J, les α i (H) se déduisent des β i (H) par une matrice à coefficients
entiers. Donc
sup
i=1,...,n
(|α i (H)| F ) ≤ sup
i=1,...,n
(|β i (H)| F ).
On peut échanger les rôles de α et β. Donc les deux sup sont égaux. Quitte à
multiplier H par une puissance convenable de F , on peut supposer que ces sup
valent 1. Mais alors u α (H) = 0 pour tout α ∈ J. Donc u(H) = 0. L’égalité u−c = 0
entraîne c = 0, puis u = 0.
L’ensemble J
˜
G
˜
M
contient un unique élément J tel que R J contienne Σ(A ˜
M )
tout entier. C’est celui qui contient tout ensemble {α i ; i = 1, . . . , n} formant une
base de Σ(A ˜
M ) pour un certain ordre. On dit que cet élément J est l’élément
maximal de J
˜
G
˜
M
.