II.3. Développements des intégrales orbitales pondérées
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tore déployé maximal. On peut identifier a ˜
M (F ) à F
2 de sorte qu’un ensemble de
racines positives soit formé des quatre applications linéaires
(x, y) →
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
α(x, y)
= x − y
β(x, y)
= y
(α + β)(x, y) = x
(α + 2β)(x, y) = x + y.
Il y a six ensembles formés de deux racines positives linéairement indépendantes.
Cinq d’entre eux sont équivalents, le dernier, à savoir {α, α + 2β}, formant une
classe d’équivalence à lui seul (si on ne tient compte que des racines positives).
Prenons pour J la classe des cinq premiers. En identifiant les germes de fonctions
sur A ˜
M (F ) au point 1 à des germes de fonctions sur a ˜
M (F ) au point 0, l’espace
U J contient en particulier les germes des fonctions
(x, y) →
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
log(|x − y| F ) log(|y| F )
log(|x + y| F ) log(|x| F )
log(|x − y| F ) log(|x| F )
log(|x + y| F ) log(|y| F )
(on suppose que la caractéristique résiduelle est impaire, sinon il faudrait multiplier
toutes les racines par 2). Mais la somme des deux premières fonctions et des
opposées des deux dernières est nulle. En effet, elle s’écrit
(log(|x − y| F ) − log(|x + y| F ))(log(|y| F ) − log(|x| F )).
Si x et y ont même valeur absolue, le deuxième facteur est nul. Si x et y ont des
valeurs absolues différentes, alors x + y et x − y ont des valeurs absolues égales au
sup de celles de x et de y. Dans ce cas, le premier facteur est nul.
On a néanmoins la propriété ci-dessous. Pour l’énoncer, on doit d’abord poser une définition. Appelons domaine admissible dans A ˜
M (F ) l’intersection d’un
voisinage ouvert assez petit de 1 avec l’ensemble des éléments a qui vérifient la
condition |α(a) − 1| F > cd(a) pour tout α ∈ Σ(A ˜
M ), où c > 0 est un réel fixé.
Pour un germe de fonction u définie presque partout dans un voisinage de 1 dans
A ˜
M (F ), disons que le germe u est équivalent à 0 s’il existe r > 0 et, pour tout
domaine admissible, un réel C > 0 tel que |u(a)| ≤ Cd(a)
r pour tout a dans le
domaine et assez proche de 1. On dit que deux germes sont équivalents si leur
différence est équivalente à 0. On note cette relation d’équivalence. Cette définition dépend de l’espace ambiant ˜
G (puisqu’elle dépend de l’ensemble Σ(A ˜
M )),
mais on espère que cela ne créera pas de difficulté. Notons que
(1) si u est un germe équivalent à 0 et si {α i ; i = 1, . . . , n} est un ensemble fini
d’éléments de Σ(A ˜
M ), le germe
a → u(a)
i=1,...,n
log |α i (a) − α i (a)
−1
| F
est lui-aussi équivalent à 0.
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tore déployé maximal. On peut identifier a ˜
M (F ) à F
2 de sorte qu’un ensemble de
racines positives soit formé des quatre applications linéaires
(x, y) →
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
α(x, y)
= x − y
β(x, y)
= y
(α + β)(x, y) = x
(α + 2β)(x, y) = x + y.
Il y a six ensembles formés de deux racines positives linéairement indépendantes.
Cinq d’entre eux sont équivalents, le dernier, à savoir {α, α + 2β}, formant une
classe d’équivalence à lui seul (si on ne tient compte que des racines positives).
Prenons pour J la classe des cinq premiers. En identifiant les germes de fonctions
sur A ˜
M (F ) au point 1 à des germes de fonctions sur a ˜
M (F ) au point 0, l’espace
U J contient en particulier les germes des fonctions
(x, y) →
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
log(|x − y| F ) log(|y| F )
log(|x + y| F ) log(|x| F )
log(|x − y| F ) log(|x| F )
log(|x + y| F ) log(|y| F )
(on suppose que la caractéristique résiduelle est impaire, sinon il faudrait multiplier
toutes les racines par 2). Mais la somme des deux premières fonctions et des
opposées des deux dernières est nulle. En effet, elle s’écrit
(log(|x − y| F ) − log(|x + y| F ))(log(|y| F ) − log(|x| F )).
Si x et y ont même valeur absolue, le deuxième facteur est nul. Si x et y ont des
valeurs absolues différentes, alors x + y et x − y ont des valeurs absolues égales au
sup de celles de x et de y. Dans ce cas, le premier facteur est nul.
On a néanmoins la propriété ci-dessous. Pour l’énoncer, on doit d’abord poser une définition. Appelons domaine admissible dans A ˜
M (F ) l’intersection d’un
voisinage ouvert assez petit de 1 avec l’ensemble des éléments a qui vérifient la
condition |α(a) − 1| F > cd(a) pour tout α ∈ Σ(A ˜
M ), où c > 0 est un réel fixé.
Pour un germe de fonction u définie presque partout dans un voisinage de 1 dans
A ˜
M (F ), disons que le germe u est équivalent à 0 s’il existe r > 0 et, pour tout
domaine admissible, un réel C > 0 tel que |u(a)| ≤ Cd(a)
r pour tout a dans le
domaine et assez proche de 1. On dit que deux germes sont équivalents si leur
différence est équivalente à 0. On note cette relation d’équivalence. Cette définition dépend de l’espace ambiant ˜
G (puisqu’elle dépend de l’ensemble Σ(A ˜
M )),
mais on espère que cela ne créera pas de difficulté. Notons que
(1) si u est un germe équivalent à 0 et si {α i ; i = 1, . . . , n} est un ensemble fini
d’éléments de Σ(A ˜
M ), le germe
a → u(a)
i=1,...,n
log |α i (a) − α i (a)
−1
| F
est lui-aussi équivalent à 0.