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Chapitre II. Enoncés des résultats
II.2.13 Une formule d’induction, cas stable
On suppose (G, ˜
G, a) qusasi-déployé et à torsion intérieure. On fixe un système de
fonctions B comme en 1.9. Soient ˜
M un espace de Levi de ˜
G, ˜
R un espace de Levi
de ˜
M et O une classe de conjugaison stable semi-simple dans ˜
R(F ).
Lemme. Soit δ ∈ D
st
g´ eom ( ˜
R(F ), ω) ⊗ Mes(R(F ))
∗ . On suppose que les éléments du
support de δ
˜
M sont ˜
G-équisinguliers. Si δ est assez voisin de O, on a l’égalité
Sg
˜
G
˜
M,O
˜
M (δ
˜
M ) =
˜
L∈L( ˜
R)
e
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L)(Sg
˜
L
˜
R,O
(δ))
˜
G .
La preuve est la même qu’en 2.11, en utilisant la proposition 1.14(ii).
II.3 Développements des intégrales orbitales
pondérées invariantes
II.3.1 Des espaces associés au couple ( ˜
G, ˜
M )
On considère un triplet (G, ˜
G, a) général. Soit ˜
M un ensemble de Levi de ˜
G. Considérons l’ensemble des ensembles {α i ; i = 1, . . . , n} formés d’éléments linéairement
indépendants de Σ(A ˜
M ) et de nombre d’éléments maximal, c’est-à-dire tels que
n = a ˜
M − a ˜
G (on considère ici les racines comme des éléments de a
∗
˜
M
). On dit que
deux tels ensembles sont équivalents s’ils engendrent le même Z-module dans a
∗
˜
M
.
On note J
˜
G
˜
M
l’ensemble des classes d’équivalence. Pour J ∈ J
˜
G
˜
M
, on note R J le Z
module engendré par les α i pour n’importe quel élément {α i ; i = 1, . . . , n} ∈ J.
Identifions la paire de Borel de G à une paire (B
∗ , T
∗ ) pour laquelle M est
standard. Soit J ∈ J
˜
G
˜
M
. On considère l’ensemble des racines β ∈ Σ(T
∗ ) qui se
restreignent à A ˜
M en un élément de R J . C’est le système de racines associé à un
sous-groupe de G, que l’on note G J . Il contient M . On vérifie qu’il est défini sur F
et invariant par ad γ pour tout γ ∈ ˜
M (F ) (parce que ad γ induit l’identité sur A ˜
M ).
Alors l’ensemble ˜
G J = G J ˜
M est un sous-espace tordu de ˜
G. On introduit aussi
un sous-espace U J de l’espace des germes au point 1 de fonctions définies presque
partout sur A ˜
M (F ). C’est le sous-espace engendré linéairement par les germes de
fonctions
a →
i=1,...,n
log(|α i (a) − α i (a)
−1
| F )
pour les ensembles {α i ; i = 1, . . . , n} appartenant à J. Si ˜
M = ˜
G, J
˜
G
˜
G
possède un
unique élément ∅. Alors U ∅ est la droite formée des germes de fonctions constantes.
Attention. Les fonctions ci-dessus ne sont pas linéairement indépendantes en général. Donnons un contre-exemple. On prend ˜
G = G = SO(5) et pour ˜
M = M un
Chapitre II. Enoncés des résultats
II.2.13 Une formule d’induction, cas stable
On suppose (G, ˜
G, a) qusasi-déployé et à torsion intérieure. On fixe un système de
fonctions B comme en 1.9. Soient ˜
M un espace de Levi de ˜
G, ˜
R un espace de Levi
de ˜
M et O une classe de conjugaison stable semi-simple dans ˜
R(F ).
Lemme. Soit δ ∈ D
st
g´ eom ( ˜
R(F ), ω) ⊗ Mes(R(F ))
∗ . On suppose que les éléments du
support de δ
˜
M sont ˜
G-équisinguliers. Si δ est assez voisin de O, on a l’égalité
Sg
˜
G
˜
M,O
˜
M (δ
˜
M ) =
˜
L∈L( ˜
R)
e
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L)(Sg
˜
L
˜
R,O
(δ))
˜
G .
La preuve est la même qu’en 2.11, en utilisant la proposition 1.14(ii).
II.3 Développements des intégrales orbitales
pondérées invariantes
II.3.1 Des espaces associés au couple ( ˜
G, ˜
M )
On considère un triplet (G, ˜
G, a) général. Soit ˜
M un ensemble de Levi de ˜
G. Considérons l’ensemble des ensembles {α i ; i = 1, . . . , n} formés d’éléments linéairement
indépendants de Σ(A ˜
M ) et de nombre d’éléments maximal, c’est-à-dire tels que
n = a ˜
M − a ˜
G (on considère ici les racines comme des éléments de a
∗
˜
M
). On dit que
deux tels ensembles sont équivalents s’ils engendrent le même Z-module dans a
∗
˜
M
.
On note J
˜
G
˜
M
l’ensemble des classes d’équivalence. Pour J ∈ J
˜
G
˜
M
, on note R J le Z
module engendré par les α i pour n’importe quel élément {α i ; i = 1, . . . , n} ∈ J.
Identifions la paire de Borel de G à une paire (B
∗ , T
∗ ) pour laquelle M est
standard. Soit J ∈ J
˜
G
˜
M
. On considère l’ensemble des racines β ∈ Σ(T
∗ ) qui se
restreignent à A ˜
M en un élément de R J . C’est le système de racines associé à un
sous-groupe de G, que l’on note G J . Il contient M . On vérifie qu’il est défini sur F
et invariant par ad γ pour tout γ ∈ ˜
M (F ) (parce que ad γ induit l’identité sur A ˜
M ).
Alors l’ensemble ˜
G J = G J ˜
M est un sous-espace tordu de ˜
G. On introduit aussi
un sous-espace U J de l’espace des germes au point 1 de fonctions définies presque
partout sur A ˜
M (F ). C’est le sous-espace engendré linéairement par les germes de
fonctions
a →
i=1,...,n
log(|α i (a) − α i (a)
−1
| F )
pour les ensembles {α i ; i = 1, . . . , n} appartenant à J. Si ˜
M = ˜
G, J
˜
G
˜
G
possède un
unique élément ∅. Alors U ∅ est la droite formée des germes de fonctions constantes.
Attention. Les fonctions ci-dessus ne sont pas linéairement indépendantes en général. Donnons un contre-exemple. On prend ˜
G = G = SO(5) et pour ˜
M = M un