II.2. Germes de Shalika
275
A droite, on obtient
˜
L1∈L( ˜
R)
d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L 1 )
˜
L2∈L( ˜
R), ˜
L2⊂ ˜
L1
I
˜
L1
˜
L2
(g
˜
L2
˜
R,O
(γ), f ˜
L1,ω ).
Considérons l’ensemble A des couples d’espace de Levi ( ˜
L 1 , ˜
L 2 ) tels que ˜
R ⊂ ˜
L 2 ⊂
˜
L 1 et d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L 1 ) = 0. Considérons l’ensemble B des triplets ( ˜
L 1 , ˜
L 2 , ˜
L
) tels que
˜
R ⊂ ˜
L 2 ⊂ ˜
L 1 , ˜
M ⊂ ˜
L
, ˜
L 2 ⊂ ˜
L
et d
˜
L
˜
R
( ˜
M , ˜
L 2 )d
˜
G
˜
L2
( ˜
L
, ˜
L 1 ) = 0. On a prouvé en
1.7(5) que l’application ( ˜
L 1 , ˜
L 2 , ˜
L
) → ( ˜
L 1 , ˜
L 2 ) etait une bijection de B sur A et
que, pour ( ˜
L 1 , ˜
L 2 , ˜
L
) ∈ B, on avait l’égalité d
˜
L
˜
R
( ˜
M , ˜
L 2 )d
˜
G
˜
L2
( ˜
L
, ˜
L 1 ) = d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L 1 ).
En utilisant cela, la somme ci-dessus se récrit
˜
L ∈L( ˜
M )
˜
L2∈L( ˜
R), ˜
L2⊂ ˜
L
d
˜
L
˜
R
( ˜
M , ˜
L 2 )
˜
L1∈L( ˜
L2)
d
˜
G
˜
L2
( ˜
L
, ˜
L 1 )I
˜
L1
˜
L2
(g
˜
L2
˜
R,O
(γ), f ˜
L1,ω ).
Par le lemme 1.7, la dernière somme en ˜
L 1 devient I
˜
G
˜
L ((g
˜
L2
˜
R,O
(γ))
˜
L
, f ). L’expression
devient
(2)
˜
L ∈L( ˜
M)
I
˜
G
˜
L (X
˜
L
˜
M
(γ), f ),
où
X
˜
L
˜
M
(γ) =
˜
L2∈L( ˜
R), ˜
L2⊂ ˜
L
d
˜
L
˜
R
( ˜
M , ˜
L 2 )(g
˜
L2
˜
R,O
(γ))
˜
L
.
Les deux expressions (1) et (2) sont égales. L’assertion du lemme est que X
˜
G
˜
M
(γ) =
g
˜
G
˜
M,O
˜
M
(γ
˜
M ). En raisonnant par récurrence, on peut supposer que cela est vrai si
l’on remplace ˜
G par ˜
L
= ˜
G. Par différence entre (1) et (2), on obtient
I
˜
G (g
˜
G
˜
M,O
˜
M (γ
˜
M ) − X
˜
G
˜
M
(γ), f ) = 0.
On en déduit l’égalité cherchée X
˜
G
˜
M
(γ) = g
˜
G
˜
M,O
˜
M
(γ
˜
M ).
II.2.12 Une formule d’induction, cas endoscopique
On conserve les mêmes données, à ceci près que O est maintenant une classe de
conjugaison stable semi-simple dans ˜
R(F ).
Lemme. Soit γ ∈ D g´ eom ( ˜
R(F ), ω) ⊗ Mes(R(F ))
∗ . On suppose que les éléments du
support de γ
˜
M sont ˜
G-équisinguliers. Si γ est assez voisin de O, on a l’égalité
g
˜
G,E
˜
M,O
˜
M
(γ
˜
M ) =
˜
L∈L( ˜
R)
d
˜
G
˜
R
( ˜
M, ˜
L)(g
˜
L,E
˜
R,O
(γ))
˜
G .
La preuve est la même que la précédente, en utilisant la relation 1.15 (1) en
lieu et place du lemme 1.7.
275
A droite, on obtient
˜
L1∈L( ˜
R)
d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L 1 )
˜
L2∈L( ˜
R), ˜
L2⊂ ˜
L1
I
˜
L1
˜
L2
(g
˜
L2
˜
R,O
(γ), f ˜
L1,ω ).
Considérons l’ensemble A des couples d’espace de Levi ( ˜
L 1 , ˜
L 2 ) tels que ˜
R ⊂ ˜
L 2 ⊂
˜
L 1 et d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L 1 ) = 0. Considérons l’ensemble B des triplets ( ˜
L 1 , ˜
L 2 , ˜
L
) tels que
˜
R ⊂ ˜
L 2 ⊂ ˜
L 1 , ˜
M ⊂ ˜
L
, ˜
L 2 ⊂ ˜
L
et d
˜
L
˜
R
( ˜
M , ˜
L 2 )d
˜
G
˜
L2
( ˜
L
, ˜
L 1 ) = 0. On a prouvé en
1.7(5) que l’application ( ˜
L 1 , ˜
L 2 , ˜
L
) → ( ˜
L 1 , ˜
L 2 ) etait une bijection de B sur A et
que, pour ( ˜
L 1 , ˜
L 2 , ˜
L
) ∈ B, on avait l’égalité d
˜
L
˜
R
( ˜
M , ˜
L 2 )d
˜
G
˜
L2
( ˜
L
, ˜
L 1 ) = d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L 1 ).
En utilisant cela, la somme ci-dessus se récrit
˜
L ∈L( ˜
M )
˜
L2∈L( ˜
R), ˜
L2⊂ ˜
L
d
˜
L
˜
R
( ˜
M , ˜
L 2 )
˜
L1∈L( ˜
L2)
d
˜
G
˜
L2
( ˜
L
, ˜
L 1 )I
˜
L1
˜
L2
(g
˜
L2
˜
R,O
(γ), f ˜
L1,ω ).
Par le lemme 1.7, la dernière somme en ˜
L 1 devient I
˜
G
˜
L ((g
˜
L2
˜
R,O
(γ))
˜
L
, f ). L’expression
devient
(2)
˜
L ∈L( ˜
M)
I
˜
G
˜
L (X
˜
L
˜
M
(γ), f ),
où
X
˜
L
˜
M
(γ) =
˜
L2∈L( ˜
R), ˜
L2⊂ ˜
L
d
˜
L
˜
R
( ˜
M , ˜
L 2 )(g
˜
L2
˜
R,O
(γ))
˜
L
.
Les deux expressions (1) et (2) sont égales. L’assertion du lemme est que X
˜
G
˜
M
(γ) =
g
˜
G
˜
M,O
˜
M
(γ
˜
M ). En raisonnant par récurrence, on peut supposer que cela est vrai si
l’on remplace ˜
G par ˜
L
= ˜
G. Par différence entre (1) et (2), on obtient
I
˜
G (g
˜
G
˜
M,O
˜
M (γ
˜
M ) − X
˜
G
˜
M
(γ), f ) = 0.
On en déduit l’égalité cherchée X
˜
G
˜
M
(γ) = g
˜
G
˜
M,O
˜
M
(γ
˜
M ).
II.2.12 Une formule d’induction, cas endoscopique
On conserve les mêmes données, à ceci près que O est maintenant une classe de
conjugaison stable semi-simple dans ˜
R(F ).
Lemme. Soit γ ∈ D g´ eom ( ˜
R(F ), ω) ⊗ Mes(R(F ))
∗ . On suppose que les éléments du
support de γ
˜
M sont ˜
G-équisinguliers. Si γ est assez voisin de O, on a l’égalité
g
˜
G,E
˜
M,O
˜
M
(γ
˜
M ) =
˜
L∈L( ˜
R)
d
˜
G
˜
R
( ˜
M, ˜
L)(g
˜
L,E
˜
R,O
(γ))
˜
G .
La preuve est la même que la précédente, en utilisant la relation 1.15 (1) en
lieu et place du lemme 1.7.