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Chapitre II. Enoncés des résultats
Preuve. Pour (i), on applique le lemme 2.8 en prenant
D = D g´ eom, ˜
G -reg ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ .
Grâce à 2.3(1) et 2.6(8), la condition (ii) de ce lemme est vérifiée. Donc aussi la
condition (i) de ce lemme, qui n’est autre que la conclusion de l’énoncé. Pour le (ii),
on applique le lemme 2.9 en prenant D
st = D
st
g´ eom, ˜
G -reg
( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ .
Grâce au lemme 2.2 et à 2.4(2), la condition (ii) de ce lemme est vérifiée. Donc aussi
la condition (i) de ce lemme, qui n’est autre que la conclusion de l’énoncé.
II.2.11 Une formule d’induction
Soient (G, ˜
G, a) un triplet quelconque, ˜
M un espace de Levi de ˜
G et ˜
R un espace
de Levi de ˜
M . On rappelle qu’il y a un homomorphisme d’induction
D g´ eom ( ˜
R(F ), ω) ⊗ Mes(R(F ))
∗
→ D g´ eom ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗
γ
→
γ
˜
M
.
Soit O une classe de conjugaison semi-simple par R(F ) dans ˜
R(F ). On note O
˜
M
la classe engendrée dans ˜
M (F ).
Lemme. Soit γ ∈ D g´ eom ( ˜
R(F ), ω) ⊗ Mes(R(F ))
∗ . On suppose que les éléments du
support de γ
˜
M sont ˜
G-équisinguliers. Si γ est assez voisin de O, on a l’égalité
g
˜
G
˜
M,O
˜
M (γ
˜
M ) =
˜
L∈L( ˜
R)
d
˜
G
˜
R
( ˜
M, ˜
L)(g
˜
L
˜
R,O
(γ))
˜
G .
Remarque. Pour tout ˜
L tel que d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L) = 0, les éléments du support de γ sont
˜
L-équisinguliers. Cela résulte de l’assertion suivante. Soit η ∈ ˜
R(F ). Supposons
que η soit ˜
G-équisingulier en tant qu’élément de ˜
M (F ) (c’est-à-dire M η = G η ).
Alors η est ˜
L-équisingulier. Puisque d
˜
G
˜
M
( ˜
M , ˜
L) = 0, les tores A ˜
M et A ˜
L engendrent
A ˜
R . Un élément de ˜
M ∩ ˜
L commute à A ˜
M et A ˜
L , donc à A ˜
R , donc appartient à
˜
R. D’où ˜
M ∩ ˜
L = ˜
R. Un élément de M ∩ L agissant par multiplication à gauche
conserve ˜
M ∩ ˜
L, donc aussi ˜
R, donc appartient à R. D’où M ∩ L = R. Puisque
L η ⊂ G η = M η , on a L η ⊂ M ∩ L = R, d’où l’égalité cherchée L η = R η .
Preuve. Soit f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )). On utilise le lemme 1.7 :
I
˜
G
˜
M
(γ
˜
M , f ) =
˜
L1∈L( ˜
R)
d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L 1 )I
˜
L1
˜
R
(γ, f ˜
L1,ω ).
On développe en germes les deux membres. A gauche, on obtient
(1)
˜
L ∈L( ˜
M)
I
˜
G
˜
L (g
˜
L
˜
M,O
˜
M (γ
˜
M ), f ).
Chapitre II. Enoncés des résultats
Preuve. Pour (i), on applique le lemme 2.8 en prenant
D = D g´ eom, ˜
G -reg ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ .
Grâce à 2.3(1) et 2.6(8), la condition (ii) de ce lemme est vérifiée. Donc aussi la
condition (i) de ce lemme, qui n’est autre que la conclusion de l’énoncé. Pour le (ii),
on applique le lemme 2.9 en prenant D
st = D
st
g´ eom, ˜
G -reg
( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ .
Grâce au lemme 2.2 et à 2.4(2), la condition (ii) de ce lemme est vérifiée. Donc aussi
la condition (i) de ce lemme, qui n’est autre que la conclusion de l’énoncé.
II.2.11 Une formule d’induction
Soient (G, ˜
G, a) un triplet quelconque, ˜
M un espace de Levi de ˜
G et ˜
R un espace
de Levi de ˜
M . On rappelle qu’il y a un homomorphisme d’induction
D g´ eom ( ˜
R(F ), ω) ⊗ Mes(R(F ))
∗
→ D g´ eom ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗
γ
→
γ
˜
M
.
Soit O une classe de conjugaison semi-simple par R(F ) dans ˜
R(F ). On note O
˜
M
la classe engendrée dans ˜
M (F ).
Lemme. Soit γ ∈ D g´ eom ( ˜
R(F ), ω) ⊗ Mes(R(F ))
∗ . On suppose que les éléments du
support de γ
˜
M sont ˜
G-équisinguliers. Si γ est assez voisin de O, on a l’égalité
g
˜
G
˜
M,O
˜
M (γ
˜
M ) =
˜
L∈L( ˜
R)
d
˜
G
˜
R
( ˜
M, ˜
L)(g
˜
L
˜
R,O
(γ))
˜
G .
Remarque. Pour tout ˜
L tel que d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L) = 0, les éléments du support de γ sont
˜
L-équisinguliers. Cela résulte de l’assertion suivante. Soit η ∈ ˜
R(F ). Supposons
que η soit ˜
G-équisingulier en tant qu’élément de ˜
M (F ) (c’est-à-dire M η = G η ).
Alors η est ˜
L-équisingulier. Puisque d
˜
G
˜
M
( ˜
M , ˜
L) = 0, les tores A ˜
M et A ˜
L engendrent
A ˜
R . Un élément de ˜
M ∩ ˜
L commute à A ˜
M et A ˜
L , donc à A ˜
R , donc appartient à
˜
R. D’où ˜
M ∩ ˜
L = ˜
R. Un élément de M ∩ L agissant par multiplication à gauche
conserve ˜
M ∩ ˜
L, donc aussi ˜
R, donc appartient à R. D’où M ∩ L = R. Puisque
L η ⊂ G η = M η , on a L η ⊂ M ∩ L = R, d’où l’égalité cherchée L η = R η .
Preuve. Soit f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )). On utilise le lemme 1.7 :
I
˜
G
˜
M
(γ
˜
M , f ) =
˜
L1∈L( ˜
R)
d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L 1 )I
˜
L1
˜
R
(γ, f ˜
L1,ω ).
On développe en germes les deux membres. A gauche, on obtient
(1)
˜
L ∈L( ˜
M)
I
˜
G
˜
L (g
˜
L
˜
M,O
˜
M (γ
˜
M ), f ).