II.2. Germes de Shalika
273
on a simplement Sg
˜
M
˜
M,O
(δ, B) = g
˜
M
˜
M,O
(δ) et ce terme est stable d’après le lemme
2.2. En vertu de l’hypothèse sur f , le développement se réduit à
(1)
S
˜
G
˜
M
(δ, B, f ) = S
˜
G
˜
M
(g
˜
M
˜
M,O
(δ), B, f ) + I
˜
G (Sg
˜
G
˜
M,O
(δ, B), B, f ).
Soit D
st un sous-ensemble de D
st
g´ eom, ˜
G -équi
( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ vérifiant
la propriété suivante
(2) pour tout τ ∈ D
st
g´ eom (O) ⊗ Mes(M (F ))
∗ , il existe δ ∈ D
st aussi proche que
l’on veut de O, de sorte que g
˜
M
˜
M,O
(δ) = τ .
Exemple. L’ensemble D
st = D
st
g´ eom, ˜
G -reg
( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ des éléments
de D
st
g´ eom ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ à support fortement ˜
G-régulier vérifie cette
propriété d’après le lemme 2.2.
Lemme. Supposons que la distribution f
→ S
˜
G
˜
M
(δ, B, f
) soit stable pour tout
δ ∈ D
st . Alors les propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) la distribution f
→ S
˜
G
˜
M
(δ, B, f
) est stable pour tout
δ ∈ D
st
g´ eom (O) ⊗ Mes(M (F ))
∗ ;
(ii) Sg
˜
G
˜
M,O
(δ, B) est stable pour tout δ ∈ D
st assez proche de O.
La preuve est similaire à celle du lemme précédent.
II.2.10 Premières conséquences
Soient (G, ˜
G, a) un triplet quelconque et ˜
M un espace de Levi de ˜
G.
Proposition.
(i) Soit O une classe de conjugaison semi-simple dans ˜
M (F ) formée d’éléments
˜
G-équisinguliers. Supposons que l’on ait l’égalité I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) = I
˜
G
˜
M
(γ, f ) pour
tout γ ∈ D g´ eom, ˜
G -reg ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ et tout f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )) ⊗
Mes(G(F )). Alors cette égalité est vérifiée pour tout f et tout
γ ∈ D g´ eom (O, ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ .
(ii) Supposons (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Soit O une classe
de conjugaison stable semi-simple dans ˜
M (F ) formée d’éléments ˜
G-équisinguliers. Supposons que la distribution
f → S
˜
G
˜
M
(δ, f )
soit stable pour tout δ ∈ D
st
g´ eom, ˜
G -reg
( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ . Alors elle est
stable pour tout δ ∈ D
st
g´ eom (O) ⊗ Mes(M (F ))
∗ .
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on a simplement Sg
˜
M
˜
M,O
(δ, B) = g
˜
M
˜
M,O
(δ) et ce terme est stable d’après le lemme
2.2. En vertu de l’hypothèse sur f , le développement se réduit à
(1)
S
˜
G
˜
M
(δ, B, f ) = S
˜
G
˜
M
(g
˜
M
˜
M,O
(δ), B, f ) + I
˜
G (Sg
˜
G
˜
M,O
(δ, B), B, f ).
Soit D
st un sous-ensemble de D
st
g´ eom, ˜
G -équi
( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ vérifiant
la propriété suivante
(2) pour tout τ ∈ D
st
g´ eom (O) ⊗ Mes(M (F ))
∗ , il existe δ ∈ D
st aussi proche que
l’on veut de O, de sorte que g
˜
M
˜
M,O
(δ) = τ .
Exemple. L’ensemble D
st = D
st
g´ eom, ˜
G -reg
( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ des éléments
de D
st
g´ eom ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ à support fortement ˜
G-régulier vérifie cette
propriété d’après le lemme 2.2.
Lemme. Supposons que la distribution f
→ S
˜
G
˜
M
(δ, B, f
) soit stable pour tout
δ ∈ D
st . Alors les propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) la distribution f
→ S
˜
G
˜
M
(δ, B, f
) est stable pour tout
δ ∈ D
st
g´ eom (O) ⊗ Mes(M (F ))
∗ ;
(ii) Sg
˜
G
˜
M,O
(δ, B) est stable pour tout δ ∈ D
st assez proche de O.
La preuve est similaire à celle du lemme précédent.
II.2.10 Premières conséquences
Soient (G, ˜
G, a) un triplet quelconque et ˜
M un espace de Levi de ˜
G.
Proposition.
(i) Soit O une classe de conjugaison semi-simple dans ˜
M (F ) formée d’éléments
˜
G-équisinguliers. Supposons que l’on ait l’égalité I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) = I
˜
G
˜
M
(γ, f ) pour
tout γ ∈ D g´ eom, ˜
G -reg ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ et tout f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )) ⊗
Mes(G(F )). Alors cette égalité est vérifiée pour tout f et tout
γ ∈ D g´ eom (O, ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ .
(ii) Supposons (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Soit O une classe
de conjugaison stable semi-simple dans ˜
M (F ) formée d’éléments ˜
G-équisinguliers. Supposons que la distribution
f → S
˜
G
˜
M
(δ, f )
soit stable pour tout δ ∈ D
st
g´ eom, ˜
G -reg
( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ . Alors elle est
stable pour tout δ ∈ D
st
g´ eom (O) ⊗ Mes(M (F ))
∗ .