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Chapitre II. Enoncés des résultats
Exemple. L’ensemble D = D g´ eom, ˜
G -reg ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ des éléments de
D g´ eom ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ à support fortement ˜
G-régulier vérifie cette propriété d’après 2.1(1).
Lemme. Supposons que l’on ait l’égalité I
˜
G
˜
M
(γ, f ) = I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) pour tout γ ∈ D et
pour tout f ∈ I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )). Alors les deux propriétés suivantes sont
équivalentes :
(i) on a l’égalité I
˜
G
˜
M
(γ, f ) = I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) pour tout γ ∈ D g´ eom (O, ω)⊗Mes(M (F ))
∗
et tout f ∈ I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )) ;
(ii) on a l’égalité g
˜
G
˜
M,O
(γ) = g
˜
G,E
˜
M,O
(γ) pour tout γ ∈ D assez proche de O.
Preuve. L’hypothèse implique que, pour γ ∈ D, le membre de gauche de (1) est
nul donc aussi celui de droite. Si (i) est vérifié, la première différence de ce membre
de droite est nulle. La deuxième l’est donc aussi, d’où la conclusion de (ii). En sens
inverse, (ii) implique de la même façon l’égalité
I
˜
G
˜
M
(g
˜
M
˜
M,O
(γ), f ) = I
˜
G,E
˜
M
(g
˜
M
˜
M,O
(γ), f )
pour tout f et tout γ ∈ D. En utilisant (2), cela entraîne
I
˜
G
˜
M
(τ , f ) = I
˜
G,E
˜
M
(τ , f )
pour tout τ ∈ D g´ eom (O, ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ . C’est l’assertion (i).
De nouveau, il y a des variantes dans les deux situations suivantes : (G, ˜
G, a)
est quasi-déployé et à torsion intérieure et on fixe un système de fonctions B
comme en 1.9 ; ou G = ˜
G, a = 1 et on fixe une fonction B comme en 1.8.
II.2.9 Relation entre la proposition 2.4 et le théorème 1.10
On suppose (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. On suppose donné un
système de fonctions B comme en 1.9. Soit ˜
M un espace de Levi de ˜
G et O
une classe de conjugaison stable semi-simple dans ˜
M (F ). Toutes nos assertions
sont tautologiques dans le cas ˜
M = ˜
G, on suppose donc ici ˜
M = ˜
G. Soient δ ∈
D
st
g´ eom, ˜
G -équi
( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ et f ∈ I( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )). On suppose
que l’image de f dans SI( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )) est nulle, autrement dit que les
intégrales orbitales stables fortement régulières de f sont nulles. Considérons le
développement de la proposition 2.5(i). Pour ˜
L ∈ L( ˜
M ) tel que ˜
L = ˜
M et ˜
L = ˜
G,
les hypothèses de récurrence impliquent que Sg
˜
L
˜
M,O
(δ, B) est stable et que la forme
linéaire f
→ S
˜
G
˜
L
(δ
, B, f
) est stable pour tout δ
stable. Par ailleurs, pour ˜
L = ˜
M ,
Chapitre II. Enoncés des résultats
Exemple. L’ensemble D = D g´ eom, ˜
G -reg ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ des éléments de
D g´ eom ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ à support fortement ˜
G-régulier vérifie cette propriété d’après 2.1(1).
Lemme. Supposons que l’on ait l’égalité I
˜
G
˜
M
(γ, f ) = I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) pour tout γ ∈ D et
pour tout f ∈ I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )). Alors les deux propriétés suivantes sont
équivalentes :
(i) on a l’égalité I
˜
G
˜
M
(γ, f ) = I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) pour tout γ ∈ D g´ eom (O, ω)⊗Mes(M (F ))
∗
et tout f ∈ I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )) ;
(ii) on a l’égalité g
˜
G
˜
M,O
(γ) = g
˜
G,E
˜
M,O
(γ) pour tout γ ∈ D assez proche de O.
Preuve. L’hypothèse implique que, pour γ ∈ D, le membre de gauche de (1) est
nul donc aussi celui de droite. Si (i) est vérifié, la première différence de ce membre
de droite est nulle. La deuxième l’est donc aussi, d’où la conclusion de (ii). En sens
inverse, (ii) implique de la même façon l’égalité
I
˜
G
˜
M
(g
˜
M
˜
M,O
(γ), f ) = I
˜
G,E
˜
M
(g
˜
M
˜
M,O
(γ), f )
pour tout f et tout γ ∈ D. En utilisant (2), cela entraîne
I
˜
G
˜
M
(τ , f ) = I
˜
G,E
˜
M
(τ , f )
pour tout τ ∈ D g´ eom (O, ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ . C’est l’assertion (i).
De nouveau, il y a des variantes dans les deux situations suivantes : (G, ˜
G, a)
est quasi-déployé et à torsion intérieure et on fixe un système de fonctions B
comme en 1.9 ; ou G = ˜
G, a = 1 et on fixe une fonction B comme en 1.8.
II.2.9 Relation entre la proposition 2.4 et le théorème 1.10
On suppose (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. On suppose donné un
système de fonctions B comme en 1.9. Soit ˜
M un espace de Levi de ˜
G et O
une classe de conjugaison stable semi-simple dans ˜
M (F ). Toutes nos assertions
sont tautologiques dans le cas ˜
M = ˜
G, on suppose donc ici ˜
M = ˜
G. Soient δ ∈
D
st
g´ eom, ˜
G -équi
( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ et f ∈ I( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )). On suppose
que l’image de f dans SI( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )) est nulle, autrement dit que les
intégrales orbitales stables fortement régulières de f sont nulles. Considérons le
développement de la proposition 2.5(i). Pour ˜
L ∈ L( ˜
M ) tel que ˜
L = ˜
M et ˜
L = ˜
G,
les hypothèses de récurrence impliquent que Sg
˜
L
˜
M,O
(δ, B) est stable et que la forme
linéaire f
→ S
˜
G
˜
L
(δ
, B, f
) est stable pour tout δ
stable. Par ailleurs, pour ˜
L = ˜
M ,