II.2. Germes de Shalika
271
Variante. Supposons (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Fixons un
système de fonctions B comme en 1.9. Il y a une proposition similaire à celle cidessus concernant les distributions I
˜
G,E
˜
M
(γ, B, f ). On note g
˜
G,E
˜
M,O
(γ, B) les germes
correspondants.
Variante. Supposons G = ˜
G, a = 1 et O = {1}. Fixons une fonction B comme en
1.8. Il y a une proposition similaire à celle ci-dessus concernant les distributions
I
G,E
M (γ, B, f ). On note g
G,E
M,unip (γ, B) les germes correspondants.
II.2.7 Une égalité de germes
On conserve les mêmes données que dans le paragraphe précédent.
Proposition (à prouver). Sous les hypothèses ci-dessus, on a l’égalité
g
˜
G
˜
M,O
= g
˜
G,E
˜
M,O
.
Pour presque toute classe O, c’est-à-dire pour toutes sauf au plus un nombre
fini, cela sera prouvé par une méthode de descente en [III] 8.5. Les classes exclues,
que l’on appelle faute de mieux exceptionnelles, seront alors précisément définies.
D’autre part, on prouvera en [III] 7.4 que, pour toute classe O, l’assertion se déduit
du théorème 1.16(i). La preuve de la proposition pour les classes exceptionnelles
résultera donc de celle de ce théorème, laquelle s’achèvera en [X] 7.7,
II.2.8 Relation entre la proposition 2.7 et le théorème 1.16
On conserve les mêmes données. Toutes nos assertions sont tautologiques dans le
cas ˜
M = ˜
G, on suppose donc ici ˜
M = ˜
G. Soient γ ∈ D g´ eom, ˜
G -équi ( ˜
M (F ), ω) ⊗
Mes(M (F ))
∗ et f ∈ I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )). Supposons γ assez proche de O.
Considérons les développements des propositions 2.3(ii) et 2.6(ii) et faisons leur
différence. Soit ˜
L ∈ L( ˜
M ). Si ˜
L = ˜
G, nos hypothèses de récurrence permettent
d’appliquer la proposition ci-dessus : on a g
˜
L
˜
M,O
= g
˜
L,E
˜
M,O
. Si ˜
L = ˜
M , ces hypothèses
permettent d’appliquer le théorème 1.16 : on a I
˜
G
˜
L
(γ
, f ) = I
˜
G,E
˜
L
(γ
, f ) pour tout
γ
. On obtient
(1)
I
˜
G
˜
M
(γ, f ) − I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) = I
˜
G
˜
M
(g
˜
M
˜
M,O
(γ), f ) − I
˜
G,E
˜
M
(g
˜
M
˜
M,O
(γ), f )
+ I
˜
G (g
˜
G
˜
M,O
(γ) − g
˜
G,E
˜
M,O
(γ), f ).
Soit D un sous-ensemble de D g´ eom, ˜
G -équi ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ vérifiant
la propriété suivante
(2) pour tout τ ∈ D g´ eom (O, ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ , il existe γ ∈ D aussi proche que
l’on veut de O, de sorte que g
˜
M
˜
M,O
(γ) = τ .
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Variante. Supposons (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Fixons un
système de fonctions B comme en 1.9. Il y a une proposition similaire à celle cidessus concernant les distributions I
˜
G,E
˜
M
(γ, B, f ). On note g
˜
G,E
˜
M,O
(γ, B) les germes
correspondants.
Variante. Supposons G = ˜
G, a = 1 et O = {1}. Fixons une fonction B comme en
1.8. Il y a une proposition similaire à celle ci-dessus concernant les distributions
I
G,E
M (γ, B, f ). On note g
G,E
M,unip (γ, B) les germes correspondants.
II.2.7 Une égalité de germes
On conserve les mêmes données que dans le paragraphe précédent.
Proposition (à prouver). Sous les hypothèses ci-dessus, on a l’égalité
g
˜
G
˜
M,O
= g
˜
G,E
˜
M,O
.
Pour presque toute classe O, c’est-à-dire pour toutes sauf au plus un nombre
fini, cela sera prouvé par une méthode de descente en [III] 8.5. Les classes exclues,
que l’on appelle faute de mieux exceptionnelles, seront alors précisément définies.
D’autre part, on prouvera en [III] 7.4 que, pour toute classe O, l’assertion se déduit
du théorème 1.16(i). La preuve de la proposition pour les classes exceptionnelles
résultera donc de celle de ce théorème, laquelle s’achèvera en [X] 7.7,
II.2.8 Relation entre la proposition 2.7 et le théorème 1.16
On conserve les mêmes données. Toutes nos assertions sont tautologiques dans le
cas ˜
M = ˜
G, on suppose donc ici ˜
M = ˜
G. Soient γ ∈ D g´ eom, ˜
G -équi ( ˜
M (F ), ω) ⊗
Mes(M (F ))
∗ et f ∈ I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )). Supposons γ assez proche de O.
Considérons les développements des propositions 2.3(ii) et 2.6(ii) et faisons leur
différence. Soit ˜
L ∈ L( ˜
M ). Si ˜
L = ˜
G, nos hypothèses de récurrence permettent
d’appliquer la proposition ci-dessus : on a g
˜
L
˜
M,O
= g
˜
L,E
˜
M,O
. Si ˜
L = ˜
M , ces hypothèses
permettent d’appliquer le théorème 1.16 : on a I
˜
G
˜
L
(γ
, f ) = I
˜
G,E
˜
L
(γ
, f ) pour tout
γ
. On obtient
(1)
I
˜
G
˜
M
(γ, f ) − I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) = I
˜
G
˜
M
(g
˜
M
˜
M,O
(γ), f ) − I
˜
G,E
˜
M
(g
˜
M
˜
M,O
(γ), f )
+ I
˜
G (g
˜
G
˜
M,O
(γ) − g
˜
G,E
˜
M,O
(γ), f ).
Soit D un sous-ensemble de D g´ eom, ˜
G -équi ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ vérifiant
la propriété suivante
(2) pour tout τ ∈ D g´ eom (O, ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ , il existe γ ∈ D aussi proche que
l’on veut de O, de sorte que g
˜
M
˜
M,O
(γ) = τ .