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Chapitre II. Enoncés des résultats
En utilisant (3), on obtient
I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) =
M ∈E( ˜
M,a)
˜
L∈L( ˜
M)
I
˜
G,E
˜
L
(g
˜
L,E
˜
M,O
(M
, δ M ), f )
=
L∈L( ˜
M)
I
˜
G,E
˜
L
(g
˜
L,E
˜
M,O
(γ), f ).
En raisonnant par récurrence, on peut supposer que, pour ˜
L = ˜
G, le germe
g
˜
L,E
˜
M,O
(γ) ne dépend pas de la décomposition (5). L’unique terme restant, à savoir
le terme pour ˜
L = ˜
G, n’en dépend donc pas non plus. Cela démontre l’assertion
(7) et en même temps l’égalité de l’énoncé.
Supposons maintenant que (G, ˜
G, a) soit quasi-déployé et à torsion intérieure.
Dans le raisonnement précédent, l’unique problème qui se pose est qu’on ne connaît
pas la stabilité de l’un des germes que l’on manipule. Il s’agit du germe Sg
G
M,O .
Mais il n’intervient que dans S
G (Sg
G
M,O (δ), f
G ). Il suffit de remplacer cette expression par I
˜
G (Sg
˜
G
˜
M,O
(δ), f ) et la démonstration s’applique.
Supposons que O soit formé d’éléments ˜
G-équisinguliers de ˜
M (F ). Alors,
pour M
= (M
, M
, ˜
ζ) ∈ E( ˜
M , a), l’ensemble O ˜
M est formé d’éléments ˜
Géquisinguliers. Les définitions (2) et (6) et la relation 2.4(2) entraînent alors que
g
˜
G,E
˜
M,O
(γ) = 0 au voisinage de O si ˜
M = ˜
G, tandis que, si ˜
M = ˜
G, on a l’égalité
g
˜
G,E
˜
G,O
(γ) =
G ∈E( ˜
G,a)
transfert(g
G
G ,O ˜
G
(δ G )),
avec les notations de (5) adaptées au cas ˜
M = ˜
G. Pour G
apparaissant ci-dessus
et pour f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )), on a les égalités
I
˜
G (transfert(g
G
G ,O ˜
G
(δ G )), f) = S
G
(g
G
G ,O ˜
G
(δ G ), f
G
) = S
G
(δ G , f
G
)
= I
˜
G (transfert(δ G ), f) = I
˜
G (g
˜
G
˜
G,O
(transfert(δ G ), f),
pourvu que γ soit assez proche de O. Donc
transfert(g
G
G ,O ˜
G
(δ G )) = g
˜
G
˜
G,O
(transfert(δ G )).
La formule plus haut devient
(8) si O est formé d’éléments ˜
G-équisinguliers de ˜
M (F ),
g
˜
G,E
˜
M,O
=
0,
si ˜
M = ˜
G,
g
˜
M
˜
M,O
, si ˜
M = ˜
G.