II.2. Germes de Shalika
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pouvu que δ soit assez proche de O ˜
M . On regroupe les couples (˜ s, ˜
L ˜
s ) selon
l’espace de Levi ˜
L de ˜
G déterminé par l’égalité A ˜
L = A ˜
L
˜
s
. On obtient
I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, f ) =
˜
L∈L( ˜
M)
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M ) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
L) Γ F , ˆ
θ ,L (˜ s) elliptique
˜
t∈˜ sZ( ˆ
L)
Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
( ˜
t))S
G
( ˜
t)
L (˜ s) (Sg
L
(˜ s)
M ,O ˜
M
(δ, B
˜
G ), B
˜
G , f
G
(˜ s) ).
On a encore l’égalité
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
( ˜
t)) = i ˜
M ( ˜
L, ˜
L
(˜ s))i ˜
L (˜ s) ( ˜
G, ˜
G
( ˜
t))
et l’expression ci-dessus se transforme en
(4)
I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, f ) =
˜
L∈L( ˜
M)
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M ) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
L) Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
L, ˜
L
(˜ s))
˜
t∈˜ sZ( ˆ
L)
Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ F , ˆ
θ
i ˜
L (˜ s) ( ˜
G, ˜
G
( ˜
t))S
G
( ˜
t)
L (˜ s) (Sg
L
(˜ s)
M ,O ˜
M
(δ, B
˜
G ), B
˜
G , f
G
(˜ s) ).
La somme intérieure en ˜
t n’est autre que I
˜
G,E
˜
L
(L
(˜ s), Sg
L
(˜ s)
M ,O ˜
M
(δ, B
˜
G ), f ), ou encore
I
˜
G,E
˜
L
(transfert(Sg
L
(˜ s)
M ,O ˜
M
(δ, B
˜
G )), f ).
En utilisant la définition (2), (4) devient l’égalité (3).
Soit maintenant γ ∈ D g´ eom ( ˜
M (F ), ω) assez proche de O. On peut écrire
(5)
γ =
M ∈E( ˜
M,a)
transfert(δ M ),
avec des δ M ∈ D
st
g´ eom (M
), cf. [I] proposition 5.7. On peut supposer que, pour
tout M
et tout élément δ du support δ M , il existe un élément γ du support de
γ de sorte que sa partie semi-simple η appartienne à la classe de conjugaison dans
˜
M ( ¯
F ) associée à la partie semi-simple de δ. Un tel δ est ˜
G-équisingulier et proche
de O
˜
M
si γ est assez proche de O. Cela étant, on pose
(6)
g
˜
G,E
˜
M,O
(γ) =
M ∈E( ˜
M,a)
g
˜
G,E
˜
M,O
(M
, δ M ).
Pour que cette définition soit loisible, il faut montrer que :
(7) ce terme ne dépend pas de la décomposition (5) choisie.
Fixons cette décomposition. Par définition, on a
I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) =
M ∈E( ˜
M,a)
I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ M , f ).