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Chapitre II. Enoncés des résultats
mais sont en bijection, les deux bijections étant compatibles. Il en résulte que, si
G η = M η , on a aussi G
(˜ s) = M
.
On note D
st
g´ eom, ˜
G -équi
(M
) le sous-espace des éléments de D
st
g´ eom (M
) dont le
support est formé d’éléments ˜
G-équisinguliers.
Preuve de la proposition. Comme toujours, oublions les espaces de mesures. Supposons d’abord que (G, ˜
G, a) n’est pas quasi-déployé et à torsion intérieure. Considérons d’abord une donnée endoscopique elliptique et relevante M
= (M
, M
, ˜
ζ)
de (M, ˜
M , a M ). Il correspond à O une réunion O ˜
M de classes de conjugaison
stable semi-simple dans ˜
M
(F ). On définit un germe d’application linéaire
δ → g
˜
G,E
˜
M,O
(M
, δ) sur D
st
g´ eom, ˜
G -équi
(M
)
au voisinage de O ˜
M , à valeurs dans D g´ eom (O
˜
G , ω), par la formule
(2)
g
˜
G,E
˜
M,O
(M
, δ)
=
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M)
Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s)) transfert(Sg
G
(˜ s)
M ,O ˜
M
(δ, B
˜
G )).
Les hypothèses de récurrence assurent que, pour tout ˜
s, la proposition 2.4 est
vérifiée pour G
(˜ s). Donc les termes Sg
G
(˜ s)
M ,O ˜
M
(δ, B
˜
G ) sont bien définis et sont
stables. Avec cette définition, montrons que l’on a l’égalité
(3)
I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, f ) =
˜
L∈L( ˜
M)
I
˜
G,E
˜
L
(g
˜
L,E
˜
M,O
(M
, δ), f )
pourvu que δ soit assez proche de O ˜
M .
La preuve est similaire à celle de la proposition précédente. Faisons-la rapidement. On a par définition
I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, f ) =
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))S
G
(˜ s)
M (δ, B
˜
G , f
G
(˜ s) ).
En utilisant la proposition 2.5, on obtient
I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, f ) =
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M ) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))
˜
L
˜
s ∈L
˜
G (˜ s) ( ˜
M )
S
G
(˜ s)
L
˜
s
(Sg
L
˜
s
M ,O ˜
M
(δ, B
˜
G ), B
˜
G , f
G
(˜ s) )