II.2. Germes de Shalika
267
I
˜
G,E
˜
L
(transfert(Sg
L
(s)
M,O (δ, B)), B, f ). Parce que ˜
L = ˜
M , nos hypothèses de récurrence nous autorisent à appliquer le théorème 1.16. Il nous dit que le terme cidessus est aussi égal à I
˜
G
˜
L
(transfert(Sg
L
(s)
M,O (δ, B)), B, f ). L’expression (6) devient
˜
L∈L( ˜
M ), ˜
L = ˜
G
s∈Z( ˆ
M ) Γ F /Z( ˆ
L) Γ F
i ˜
M ( ˜
L, ˜
L
(s))I
˜
G
˜
L
(transfert(Sg
L
(s)
M,O (δ, B)), B, f ).
En utilisant la définition (1) de 2.4 avec ˜
G remplacé par ˜
L, la somme intérieure
en s devient I
˜
G
˜
L
(g
˜
L
˜
M,O
(δ, B), B, f ) et (6) est égal à (3). Cela démontre le (i) de
l’énoncé. Le (ii) est immédiat.
II.2.6 Développement en germes d’intégrales orbitales pondérées
ω-équivariantes endoscopiques
On revient au cas général. Soient ˜
M un espace de Levi de ˜
G et O une classe de
conjugaison stable semi-simple dans ˜
M (F ).
Proposition. Il existe un unique germe d’application linéaire g
˜
G,E
˜
M,O
sur
D g´ eom, ˜
G -équi ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗
au voisinage de O, à valeurs dans D g´ eom (O
˜
G , ω) ⊗ Mes(G(F ))
∗ , de sorte que,
pour tout f ∈ I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )) et tout γ ∈ D g´ eom, ˜
G -équi ( ˜
M (F ), ω) ⊗
Mes(M (F ))
∗ , on ait l’égalité
I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) =
˜
L∈L( ˜
M)
I
˜
G,E
˜
L
(g
˜
L,E
˜
M,O
(γ), f )
pourvu que γ soit assez proche de O.
Avant de démontrer cette proposition, posons une définition. Soit M
=
(M
, M
, ˜
ζ) une donnée endoscopique elliptique et relevante de (M, ˜
M , a M ) et
soit δ ∈ ˜
M
(F ). Notons la partie semi-simple de δ. Il correspond à une classe
de conjugaison par M ( ¯
F ) dans ˜
M ( ¯
F ). On dit que δ est ˜
G-équisingulier si cette
classe est formée d’éléments ˜
G-équisinguliers. On a
(1) si δ est ˜
G-équisingulier, δ est ˜
G
(˜ s)-équisingulier pour tout
˜
s ∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ .
En effet, soit η ∈ ˜
M ( ¯
F ) dans la classe de conjugaison correspondant à .
On sait décrire les systèmes de racines de G η , M η , G
(˜ s) et M
, cf. [79] 3.3. Les
systèmes de racines de G η et G
(˜ s) , resp. M η et M
ne sont pas égaux en général,
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I
˜
G,E
˜
L
(transfert(Sg
L
(s)
M,O (δ, B)), B, f ). Parce que ˜
L = ˜
M , nos hypothèses de récurrence nous autorisent à appliquer le théorème 1.16. Il nous dit que le terme cidessus est aussi égal à I
˜
G
˜
L
(transfert(Sg
L
(s)
M,O (δ, B)), B, f ). L’expression (6) devient
˜
L∈L( ˜
M ), ˜
L = ˜
G
s∈Z( ˆ
M ) Γ F /Z( ˆ
L) Γ F
i ˜
M ( ˜
L, ˜
L
(s))I
˜
G
˜
L
(transfert(Sg
L
(s)
M,O (δ, B)), B, f ).
En utilisant la définition (1) de 2.4 avec ˜
G remplacé par ˜
L, la somme intérieure
en s devient I
˜
G
˜
L
(g
˜
L
˜
M,O
(δ, B), B, f ) et (6) est égal à (3). Cela démontre le (i) de
l’énoncé. Le (ii) est immédiat.
II.2.6 Développement en germes d’intégrales orbitales pondérées
ω-équivariantes endoscopiques
On revient au cas général. Soient ˜
M un espace de Levi de ˜
G et O une classe de
conjugaison stable semi-simple dans ˜
M (F ).
Proposition. Il existe un unique germe d’application linéaire g
˜
G,E
˜
M,O
sur
D g´ eom, ˜
G -équi ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗
au voisinage de O, à valeurs dans D g´ eom (O
˜
G , ω) ⊗ Mes(G(F ))
∗ , de sorte que,
pour tout f ∈ I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )) et tout γ ∈ D g´ eom, ˜
G -équi ( ˜
M (F ), ω) ⊗
Mes(M (F ))
∗ , on ait l’égalité
I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) =
˜
L∈L( ˜
M)
I
˜
G,E
˜
L
(g
˜
L,E
˜
M,O
(γ), f )
pourvu que γ soit assez proche de O.
Avant de démontrer cette proposition, posons une définition. Soit M
=
(M
, M
, ˜
ζ) une donnée endoscopique elliptique et relevante de (M, ˜
M , a M ) et
soit δ ∈ ˜
M
(F ). Notons la partie semi-simple de δ. Il correspond à une classe
de conjugaison par M ( ¯
F ) dans ˜
M ( ¯
F ). On dit que δ est ˜
G-équisingulier si cette
classe est formée d’éléments ˜
G-équisinguliers. On a
(1) si δ est ˜
G-équisingulier, δ est ˜
G
(˜ s)-équisingulier pour tout
˜
s ∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ .
En effet, soit η ∈ ˜
M ( ¯
F ) dans la classe de conjugaison correspondant à .
On sait décrire les systèmes de racines de G η , M η , G
(˜ s) et M
, cf. [79] 3.3. Les
systèmes de racines de G η et G
(˜ s) , resp. M η et M
ne sont pas égaux en général,