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Chapitre II. Enoncés des résultats
étant entendu que, si s = 1,
S
G
(s)
L (s) (Sg
L
(s)
M,O (δ, B), B, f
G
(s) ) = S
˜
G
˜
L
(Sg
˜
L
˜
M,O
(δ, B), B, f ).
On veut prouver que X = 0. Il suffit pour cela de prouver que (2) est égal à
(4) et que (3) est égal à (5). Par définition du transfert, on peut remplacer dans
(4) les termes S
G
(s) (Sg
G
(s)
M,O (δ, B), B, f
G
(s) ) par I
˜
G (transfert(Sg
G
(s)
M,O (δ, B)), f ).
Alors l’égalité de (2) et (4) résulte de la définition (1) de 2.4.
Dans (5), on regroupe les couples (s, ˜
L
s ) selon l’espace de Levi ˜
L associé et
l’image de s dans Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
L)
ΓF (le triplet L
(s) ne dépend que de cette image).
L’expression (5) devient
˜
L∈L( ˜
M),
˜
L = ˜
G
s∈Z( ˆ
M )
Γ F /Z( ˆ
L)
Γ F ,
L
(s) elliptique
t∈sZ( ˆ
L) Γ F /Z( ˆ
G) Γ F
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(t))
S
G
(t)
L (s) (Sg
L
(s)
M,O (δ, B), B, f
G
(t) ).
Soient s et t intervenant dans cette formule. On vérifie l’égalité
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(t)) = i ˜
M ( ˜
L, ˜
L
(s))i ˜
L (s) ( ˜
G, ˜
G
(t)).
La non nullité du terme de droite implique que L
(s) est elliptique. L’expression
(5) devient
(6)
˜
L∈L( ˜
M), ˜
L = ˜
G
s∈Z( ˆ
M ) Γ F /Z( ˆ
L) Γ F
i ˜
M ( ˜
L, ˜
L
(s))
t∈sZ( ˆ
L)
Γ F /Z( ˆ
G)
Γ F
i ˜
L (s) ( ˜
G, ˜
G
(t))S
G
(t)
L (s) (Sg
L
(s)
M,O (δ, B), B, f
G
(t) ).
Considérons la contribution de ˜
L = ˜
M (qui n’intervient que si ˜
M = ˜
G). C’est
simplement
t∈Z( ˆ
M ) Γ F /Z( ˆ
G) Γ F
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(t))S
G
(t)
M
(Sg
M
M,O (δ, B), B, f
G
(t) ),
avec la même convention que plus haut si t = 1.
Par définition de S
˜
G
˜
M
(Sg
˜
M
˜
M,O
(δ, B), B, f ), ceci n’est autre que
I
˜
G
˜
M
(Sg
˜
M
˜
M,O
(δ, B), B, f ).
Considérons maintenant la contribution à (6) d’un ˜
L = ˜
M . Par définition, la
somme intérieure en t n’est autre que I
˜
G,E
˜
L
(L
(s), Sg
L
(s)
M,O (δ, B), B, f ), ou encore