II.2. Germes de Shalika
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(ii) Supposons que Sg
˜
G
˜
M,O
(δ, B) appartienne à D
st
g´ eom (O
˜
G ) ⊗ Mes(G(F ))
∗ . La
formule ci-dessus devient
S
˜
G
˜
M
(δ, B, f ) =
˜
L∈L( ˜
M)
S
˜
G
˜
L
(Sg
˜
L
˜
M,O
(δ, B), B, f )
pourvu que δ soit assez proche de O.
Preuve. Pour simplifier les notations, on oublie les espaces de mesures. On note
X la différence entre S
˜
G
˜
M
(δ, B, f ) et le membre de droite de l’égalité du (i) de
l’énoncé. On utilise la formule de définition
(1)
I
˜
G
˜
M
(δ, B, f ) = S
˜
G
˜
M
(δ, B, f )
+
s∈Z( ˆ
M )
Γ F /Z( ˆ
G)
Γ F ;s =1
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))S
G
(s)
M
(δ, B, f
G
(s) ).
On développe le membre de gauche par la proposition 2.3. On écrit le premier
terme du membre de droite comme X plus le membre de droite de la formule du
(i) de l’énoncé. On développe les autres termes en utilisant la formule du (ii) de
l’énoncé, que l’on peut utiliser par récurrence. Toutes ces formules sont des sommes
sur des ensembles d’espaces de Levi. Rappelons que, pour s ∈ Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF ,
un espace de Levi ˜
L
s ∈ L
˜
G
(s) ( ˜
M ) détermine un espace de Levi ˜
L de ˜
G par la
formule A ˜
L = A L s . On a tacitement réalisé
L M comme un sous-groupe de Levi
standard de
L G. En posant L
s = ˆ
L
s W F ⊂
L G, le triplet (L
s , L
s , s) est égal
à la donnée endoscopique L
(s) de (L, ˜
L). On isole dans chaque formule l’espace
de Levi maximal. Ainsi, pourvu que δ soit assez proche de O, I
˜
G
˜
M
(δ, B, f ) est la
somme de
(2) I
˜
G (g
˜
G
˜
M,O
(δ, B), f )
et de
(3)
˜
L∈L( ˜
M), ˜
L = ˜
G I
˜
G
˜
L
(g
˜
L
˜
M,O
(δ, B), B, f ).
Le membre de droite de (1) est égal à la somme de X, de
(4)
I
˜
G (Sg
˜
G
˜
M,O
(δ, B), f )
+
s∈Z( ˆ
M ) Γ F /Z( ˆ
G) Γ F ;s =1
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))S
G
(s) (Sg
G
(s)
M,O (δ, B), f
G
(s) ),
et de
(5)
s∈Z( ˆ
M ) Γ F /Z( ˆ
G) Γ F
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))
˜
L
s ∈L
˜
G (s) ( ˜
M ); ˜
L
s = ˜
G (s)
S
G
(s)
L (s) (Sg
L
(s)
M,O (δ, B), B, f
G
(s) ),