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Chapitre II. Enoncés des résultats
Soit O ⊂ ˜
M (F ) une classe de conjugaison stable d’éléments semi-simples dans
˜
M (F ). On note O
˜
G
⊂ ˜
G(F ) l’unique classe de conjugaison stable dans ˜
G(F )
contenant O. On va définir un germe d’application linéaire Sg
˜
G
˜
M,O
(B) sur
D
st
g´ eom, ˜
G -équi
( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗
au voisinage de O, à valeurs dans D g´ eom (O
˜
G ) ⊗ Mes(G(F ))
∗ . La proposition cidessous affirme qu’il prend en fait ses valeurs dans D
st
g´ eom (O
˜
G ) ⊗ Mes(G(F ))
∗ .
Comme toujours, on admet cette propriété par récurrence pour les triplets
(G
, ˜
G
, a
) quasi-déployés et à torsion intérieure tels que dim(G
SC ) < dim(G SC ).
On peut alors poser, pour δ ∈ D
st
g´ eom, ˜
G -équi
( ˜
M (F ) ⊗ Mes(M (F ))
∗ ,
(1)
Sg
˜
G
˜
M,O
(δ, B) = g
˜
G
˜
M,O
(δ, B)
−
s∈Z( ˆ
M ) Γ F /Z( ˆ
G) Γ F ;s =1
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s)) transfert(Sg
G
(s)
M,O (δ, B)).
On s’est dispensé du formalisme nécessaire pour attacher des germes à des données
G
(s) plutôt qu’à des espaces ˜
G
(s). Modulo cet oubli, tous les termes Sg
G
(s)
M,O (δ, B)
sont définis par récurrence et sont des distributions stables pour G
(s). Remarquons que le support de la distribution δ est formé d’éléments ˜
G
(s)-équisinguliers :
si γ ∈ ˜
M (F ), le système de racines de G
(s) γ est contenu dans celui de G γ , donc
dans celui de M γ si γ est ˜
G-équisingulier.
Théorème (à prouver). Pour tout δ ∈ D
st
g´ eom, ˜
G -équi
( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ assez
proche de O, le terme Sg
˜
G
˜
M,O
(δ, B) appartient à D
st
g´ eom (O
˜
G ) ⊗ Mes(G(F ))
∗ .
Cela sera prouvé en [III] 7.6 à l’aide d’une méthode de descente.
Par récurence, la relation 2.3(1) et la définition (1) ci-dessus entraînent
(2) si O est formée d’éléments ˜
G-équisinguliers de ˜
M (F ),
Sg
˜
G
˜
M,O
(B) =
0,
si ˜
M = ˜
G,
g
˜
M
˜
M,O
(B) = g
˜
M
˜
M,O
, si ˜
M = ˜
G.
II.2.5 Intégrales orbitales pondérées invariantes stables
On conserve les hypothèses du paragraphe précédent.
Proposition.
(i) Pour tout f ∈ I( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )) et tout δ ∈ D
st
g´ eom, ˜
G -équi
( ˜
M (F )) ⊗
Mes(M (F ))
∗ , on a l’égalité
S
˜
G
˜
M
(δ, B, f ) = I
˜
G (Sg
˜
G
˜
M,O
(δ, B), B, f ) +
˜
L∈L( ˜
M), ˜
L = ˜
G
S
˜
G
˜
L
(Sg
˜
L
˜
M,O
(δ, B), B, f )
pourvu que δ soit assez proche de O.
Chapitre II. Enoncés des résultats
Soit O ⊂ ˜
M (F ) une classe de conjugaison stable d’éléments semi-simples dans
˜
M (F ). On note O
˜
G
⊂ ˜
G(F ) l’unique classe de conjugaison stable dans ˜
G(F )
contenant O. On va définir un germe d’application linéaire Sg
˜
G
˜
M,O
(B) sur
D
st
g´ eom, ˜
G -équi
( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗
au voisinage de O, à valeurs dans D g´ eom (O
˜
G ) ⊗ Mes(G(F ))
∗ . La proposition cidessous affirme qu’il prend en fait ses valeurs dans D
st
g´ eom (O
˜
G ) ⊗ Mes(G(F ))
∗ .
Comme toujours, on admet cette propriété par récurrence pour les triplets
(G
, ˜
G
, a
) quasi-déployés et à torsion intérieure tels que dim(G
SC ) < dim(G SC ).
On peut alors poser, pour δ ∈ D
st
g´ eom, ˜
G -équi
( ˜
M (F ) ⊗ Mes(M (F ))
∗ ,
(1)
Sg
˜
G
˜
M,O
(δ, B) = g
˜
G
˜
M,O
(δ, B)
−
s∈Z( ˆ
M ) Γ F /Z( ˆ
G) Γ F ;s =1
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s)) transfert(Sg
G
(s)
M,O (δ, B)).
On s’est dispensé du formalisme nécessaire pour attacher des germes à des données
G
(s) plutôt qu’à des espaces ˜
G
(s). Modulo cet oubli, tous les termes Sg
G
(s)
M,O (δ, B)
sont définis par récurrence et sont des distributions stables pour G
(s). Remarquons que le support de la distribution δ est formé d’éléments ˜
G
(s)-équisinguliers :
si γ ∈ ˜
M (F ), le système de racines de G
(s) γ est contenu dans celui de G γ , donc
dans celui de M γ si γ est ˜
G-équisingulier.
Théorème (à prouver). Pour tout δ ∈ D
st
g´ eom, ˜
G -équi
( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ assez
proche de O, le terme Sg
˜
G
˜
M,O
(δ, B) appartient à D
st
g´ eom (O
˜
G ) ⊗ Mes(G(F ))
∗ .
Cela sera prouvé en [III] 7.6 à l’aide d’une méthode de descente.
Par récurence, la relation 2.3(1) et la définition (1) ci-dessus entraînent
(2) si O est formée d’éléments ˜
G-équisinguliers de ˜
M (F ),
Sg
˜
G
˜
M,O
(B) =
0,
si ˜
M = ˜
G,
g
˜
M
˜
M,O
(B) = g
˜
M
˜
M,O
, si ˜
M = ˜
G.
II.2.5 Intégrales orbitales pondérées invariantes stables
On conserve les hypothèses du paragraphe précédent.
Proposition.
(i) Pour tout f ∈ I( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )) et tout δ ∈ D
st
g´ eom, ˜
G -équi
( ˜
M (F )) ⊗
Mes(M (F ))
∗ , on a l’égalité
S
˜
G
˜
M
(δ, B, f ) = I
˜
G (Sg
˜
G
˜
M,O
(δ, B), B, f ) +
˜
L∈L( ˜
M), ˜
L = ˜
G
S
˜
G
˜
L
(Sg
˜
L
˜
M,O
(δ, B), B, f )
pourvu que δ soit assez proche de O.