II.2. Germes de Shalika
263
Proposition. Il existe un unique germe d’application linéaire g
˜
G
˜
M,O
sur
D g´ eom, ˜
G -équi ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗
au voisinage de O, à valeurs dans D g´ eom (O
˜
G , ω) ⊗ Mes(G(F ))
∗ , de sorte que
pour tout f ∈ I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )) et tout γ ∈ D g´ eom, ˜
G -équi ( ˜
M (F ), ω) ⊗
Mes(M (F ))
∗ , on ait l’égalité
I
˜
G
˜
M
(γ, f ) =
˜
L∈L( ˜
M )
I
˜
G
˜
L
(g
˜
L
˜
M,O
(γ), f )
pourvu que γ soit assez proche de O.
C’est une reformulation de [7] 2.5 (voir aussi [9] proposition 9.1). En fait, ces
germes se définissent aussi bien sans imposer à γ la restriction d’équisingularité
de son support. Mais nous ne les utiliserons que pour les γ indiqués et il est plus
simple de se limiter dès le début à de tels éléments.
En particulier, si ˜
M = ˜
G, le germe g
˜
G
˜
G,O
est le germe de Shalika ordinaire
noté g O dans les paragraphes précédents. On a une propriété supplémentaire :
(1) supposons que O soit formé d’éléments ˜
G-équisinguliers de ˜
M (F ) ; alors
g
˜
G
˜
M,O
= 0 si ˜
G = ˜
M .
C’est [9] remarque page 270.
Variante. Supposons (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Fixons un système de fonctions B comme en 1.9. Il y a une proposition similaire à la précédente,
où l’on remplace les intégrales orbitales I
˜
G
˜
L
(γ, f ) par leurs variantes I
˜
G
˜
L
(γ, B, f ).
Cette variante se déduit de la proposition précédente en utilisant 1.9(5). On note
g
˜
L
˜
M,O
(γ, B) les germes dans cette situation.
Variante. Supposons G = ˜
G et a = 1. Fixons une fonction B comme en 1.8.
Supposons O = {1}. On a défini les intégrales orbitales I
G
M (γ, B, f ) pour γ à
support unipotent. On les définit aussi pour γ à support G-équisingulier par la
simple égalité I
G
M (γ, B, f ) = I
G
M (γ, f ). Alors ces intégrales vérifient une proposition
similaire à la précédente. On note g
L
M,unip (γ, B) les germes dans cette situation.
Comme précédemment, les définitions et résultats se généralisent au cas où
O est une réunion finie de classes de conjugaison semi-simples.
II.2.4 Définition des germes stables
On suppose (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. On fixe un système de
fonctions B comme en 1.9. Soit ˜
M un espace de Levi de ˜
G.
On note D
st
g´ eom, ˜
G -équi
( ˜
L(F )) l’intersection
D
st
g´ eom ( ˜
M (F )) ∩ D g´ eom, ˜
G -équi ( ˜
M (F )).
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Proposition. Il existe un unique germe d’application linéaire g
˜
G
˜
M,O
sur
D g´ eom, ˜
G -équi ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗
au voisinage de O, à valeurs dans D g´ eom (O
˜
G , ω) ⊗ Mes(G(F ))
∗ , de sorte que
pour tout f ∈ I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )) et tout γ ∈ D g´ eom, ˜
G -équi ( ˜
M (F ), ω) ⊗
Mes(M (F ))
∗ , on ait l’égalité
I
˜
G
˜
M
(γ, f ) =
˜
L∈L( ˜
M )
I
˜
G
˜
L
(g
˜
L
˜
M,O
(γ), f )
pourvu que γ soit assez proche de O.
C’est une reformulation de [7] 2.5 (voir aussi [9] proposition 9.1). En fait, ces
germes se définissent aussi bien sans imposer à γ la restriction d’équisingularité
de son support. Mais nous ne les utiliserons que pour les γ indiqués et il est plus
simple de se limiter dès le début à de tels éléments.
En particulier, si ˜
M = ˜
G, le germe g
˜
G
˜
G,O
est le germe de Shalika ordinaire
noté g O dans les paragraphes précédents. On a une propriété supplémentaire :
(1) supposons que O soit formé d’éléments ˜
G-équisinguliers de ˜
M (F ) ; alors
g
˜
G
˜
M,O
= 0 si ˜
G = ˜
M .
C’est [9] remarque page 270.
Variante. Supposons (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Fixons un système de fonctions B comme en 1.9. Il y a une proposition similaire à la précédente,
où l’on remplace les intégrales orbitales I
˜
G
˜
L
(γ, f ) par leurs variantes I
˜
G
˜
L
(γ, B, f ).
Cette variante se déduit de la proposition précédente en utilisant 1.9(5). On note
g
˜
L
˜
M,O
(γ, B) les germes dans cette situation.
Variante. Supposons G = ˜
G et a = 1. Fixons une fonction B comme en 1.8.
Supposons O = {1}. On a défini les intégrales orbitales I
G
M (γ, B, f ) pour γ à
support unipotent. On les définit aussi pour γ à support G-équisingulier par la
simple égalité I
G
M (γ, B, f ) = I
G
M (γ, f ). Alors ces intégrales vérifient une proposition
similaire à la précédente. On note g
L
M,unip (γ, B) les germes dans cette situation.
Comme précédemment, les définitions et résultats se généralisent au cas où
O est une réunion finie de classes de conjugaison semi-simples.
II.2.4 Définition des germes stables
On suppose (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. On fixe un système de
fonctions B comme en 1.9. Soit ˜
M un espace de Levi de ˜
G.
On note D
st
g´ eom, ˜
G -équi
( ˜
L(F )) l’intersection
D
st
g´ eom ( ˜
M (F )) ∩ D g´ eom, ˜
G -équi ( ˜
M (F )).