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Chapitre II. Enoncés des résultats
Pour i = s + 1, . . . , n, la condition que l’image de f i appartient au noyau
de la projection dans SI( ˜
G(F )) O,loc signifie que S
˜
G (δ, f i ) = 0 pour tout δ ∈
D
st
g´ eom ( ˜
G(F )) assez proche de O. Fixons un voisinage ˜
U ∈ U
st (O) de sorte que
– g O soit défini sur D g´ eom ( ˜
U ) ;
– pour tout i = s + 1, . . . , n, on ait S(δ, f i ) = 0 pour tout δ ∈ D
st
g´ eom ( ˜
U ) (cet
ensemble étant bien sûr D
st
g´ eom ( ˜
G(F )) ∩ D g´ eom ( ˜
U )) ;
– pour tout i = 1, . . . , n, on ait l’égalité
(1)
I
˜
G (γ, f i ) = I
˜
G (g O (γ), f i )
pour γ ∈ D g´ eom ( ˜
U ).
Soient δ ∈ D
st
g´ eom ( ˜
U ) et i = s + 1, . . . , n. On a I
˜
G (δ, f i ) = S
˜
G (δ, f i ) = 0.
L’égalité ci-dessus nous dit que I
˜
G (g O (δ), f i ) = 0. La composante de g O (δ) sur
l’élément de base τ i est donc nulle. C’est la condition pour que g O (δ) appartienne
à D
st
g´ eom (O), ce qui prouve la première assertion de l’énoncé.
La famille (f i ) i=1,...,s est linéairement indépendante du noyau de la projection I( ˜
G(F )) → SI( ˜
G(F )) O,loc . Cela entraîne que l’on peut trouver une famille
(δ i ) i=1,...,s d’éléments de D
st
g´ eom,reg ( ˜
U ) de sorte que la matrice (S
˜
G (δ i , f j )) i,j=1,...,s
soit inversible. On peut remplacer les δ i par des éléments assez proches et à support dans ˜
V . En prenant des combinaisons linéaires convenables de ces éléments,
on obtient une nouvelle famille (δ i ) i=1,...,s d’éléments de D
st
g´ eom,reg ( ˜
U ), à supports
dans ˜
V , de sorte que, pour i, j = 1, . . . , s,
S
˜
G (δ i , f j ) =
1, si i = j,
0, si i = j.
D’après ce qui précède, cette égalité vaut même pour i = 1, . . . , s et j = 1, . . . , n.
Appliquons la relation (1) pour γ = δ i . On obtient que
I
˜
G (g O (δ i ), f j ) =
1, si i = j,
0, si i = j
pour j = 1, . . . , n. Donc g O (δ i ) = τ i . Cela démontre la seconde assertion.
De nouveau, les définitions et résultats se généralisent au cas où O est une
réunion finie de classes de conjugaison stable semi-simples.
II.2.3 Intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes
Soit ˜
M un espace de Levi de ˜
G. On note D g´ eom, ˜
G -équi ( ˜
M (F ), ω) le sous-espace
des éléments de D g´ eom ( ˜
M (F ), ω) dont le support est formé d’éléments de ˜
M (F )
qui sont ˜
G-équisinguliers. Soit O ⊂ ˜
M (F ) une classe de conjugaison semi-simple
par M (F ). On note O
˜
G
⊂ ˜
G(F ) l’unique classe de conjugaison par G(F ) qui
contient O.
Chapitre II. Enoncés des résultats
Pour i = s + 1, . . . , n, la condition que l’image de f i appartient au noyau
de la projection dans SI( ˜
G(F )) O,loc signifie que S
˜
G (δ, f i ) = 0 pour tout δ ∈
D
st
g´ eom ( ˜
G(F )) assez proche de O. Fixons un voisinage ˜
U ∈ U
st (O) de sorte que
– g O soit défini sur D g´ eom ( ˜
U ) ;
– pour tout i = s + 1, . . . , n, on ait S(δ, f i ) = 0 pour tout δ ∈ D
st
g´ eom ( ˜
U ) (cet
ensemble étant bien sûr D
st
g´ eom ( ˜
G(F )) ∩ D g´ eom ( ˜
U )) ;
– pour tout i = 1, . . . , n, on ait l’égalité
(1)
I
˜
G (γ, f i ) = I
˜
G (g O (γ), f i )
pour γ ∈ D g´ eom ( ˜
U ).
Soient δ ∈ D
st
g´ eom ( ˜
U ) et i = s + 1, . . . , n. On a I
˜
G (δ, f i ) = S
˜
G (δ, f i ) = 0.
L’égalité ci-dessus nous dit que I
˜
G (g O (δ), f i ) = 0. La composante de g O (δ) sur
l’élément de base τ i est donc nulle. C’est la condition pour que g O (δ) appartienne
à D
st
g´ eom (O), ce qui prouve la première assertion de l’énoncé.
La famille (f i ) i=1,...,s est linéairement indépendante du noyau de la projection I( ˜
G(F )) → SI( ˜
G(F )) O,loc . Cela entraîne que l’on peut trouver une famille
(δ i ) i=1,...,s d’éléments de D
st
g´ eom,reg ( ˜
U ) de sorte que la matrice (S
˜
G (δ i , f j )) i,j=1,...,s
soit inversible. On peut remplacer les δ i par des éléments assez proches et à support dans ˜
V . En prenant des combinaisons linéaires convenables de ces éléments,
on obtient une nouvelle famille (δ i ) i=1,...,s d’éléments de D
st
g´ eom,reg ( ˜
U ), à supports
dans ˜
V , de sorte que, pour i, j = 1, . . . , s,
S
˜
G (δ i , f j ) =
1, si i = j,
0, si i = j.
D’après ce qui précède, cette égalité vaut même pour i = 1, . . . , s et j = 1, . . . , n.
Appliquons la relation (1) pour γ = δ i . On obtient que
I
˜
G (g O (δ i ), f j ) =
1, si i = j,
0, si i = j
pour j = 1, . . . , n. Donc g O (δ i ) = τ i . Cela démontre la seconde assertion.
De nouveau, les définitions et résultats se généralisent au cas où O est une
réunion finie de classes de conjugaison stable semi-simples.
II.2.3 Intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes
Soit ˜
M un espace de Levi de ˜
G. On note D g´ eom, ˜
G -équi ( ˜
M (F ), ω) le sous-espace
des éléments de D g´ eom ( ˜
M (F ), ω) dont le support est formé d’éléments de ˜
M (F )
qui sont ˜
G-équisinguliers. Soit O ⊂ ˜
M (F ) une classe de conjugaison semi-simple
par M (F ). On note O
˜
G
⊂ ˜
G(F ) l’unique classe de conjugaison par G(F ) qui
contient O.