II.2. Germes de Shalika
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II.2.2 Germes de Shalika et stabilité
Dans le paragraphe précédent, on a défini la notion de germe d’application linéaire sur D g´ eom ( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F ))
∗ au voisinage de O, à valeurs dans un
espace vectoriel complexe E, quand O était une classe de conjugaison semi-simple
par G(F ). La définition se généralise au cas où O est une réunion finie de telles
classes. Dans ce cas, décomposons O en union finie ∪ i=1,...,n O i de classes de conjugaison. Pour tout i = 1, . . . , n considérons le germe de Shalika g Oi relatif à O i .
On peut fixer pour tout i un voisinage ˜
U i ∈ U(O i ) de sorte que g Oi soit défini
sur D g´ eom ( ˜
U i , ω) ⊗ Mes(G(F ))
∗ . On peut supposer les ˜
U i deux à deux disjoints.
Posons ˜
U = ∪ i=1,...,n ˜
U i . Alors g O = ⊕ i=1,...,n g Oi est une application linéaire à
valeurs dans D g´ eom (O, ω) ⊗ Mes(G(F ))
∗ , définie sur
⊕ i=1,...,n D g´ eom ( ˜
U i , ω) ⊗ Mes(G(F ))
∗ = D g´ eom ( ˜
U , ω) ⊗ Mes(G(F ))
∗ .
Le germe de cette application est uniquement défini.
Supposons maintenant (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Soit
O ⊂ ˜
G(F ) une classe de conjugaison stable semi-simple. Pour étudier les distributions stables, il convient d’adapter les définitions en remplaçant l’ensemble de
voisinages U(O) par son sous-ensemble U
st (O) des ˜
U qui vérifient la condition :
pour γ, γ
∈ ˜
G reg (F ) stablement conjugués, γ appartient à ˜
U si et seulement si
γ
∈ ˜
U . Cela ne crée pas de difficultés car tout élément de U(O) contient un voisinage vérifiant cette condition ([I] 4.6). On dispose du germe g O ci-dessus.Fixons un
sous-ensemble ˜
V ⊂ ˜
G reg (F ), ouvert et dense et invariant par conjugaison stable.
Lemme. Pour δ ∈ D
st
g´ eom ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F ))
∗ , g O (δ) appartient à D
st
g´ eom (O) ⊗
Mes(G(F ))
∗ pourvu que δ soit assez proche de O. Pour tout τ ∈ D
st
g´ eom (O) ⊗
Mes(G(F ))
∗ , il existe δ ∈ D
st
g´ eom ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F ))
∗ , à support dans ˜
V et aussi
proche que l’on veut de O, de sorte que g O (δ) = τ .
Preuve. On oublie les espaces de mesures.
L’espace D g´ eom (O) est le dual de I( ˜
G(F )) O,loc , cf. [I] 5.1, tandis que
D
st
g´ eom (O) est le dual de son quotient SI( ˜
G(F )) O,loc . On peut donc fixer une
base (τ i ) i=1,...,n de D g´ eom (O), un entier s ∈ {0, . . . , n} et une famille (f i ) i=1,...,n
d’éléments de I( ˜
G(F )) de sorte que
– (τ i ) i=1,...,s est une base de D
st
g´ eom (O) et (τ i ) i=s+1,...,n est une base d’un
supplémentaire de D
st
g´ eom (O) dans D g´ eom (O) ;
– l’image de (f i ) i=1,...,n dans I( ˜
G(F )) O,loc est une base de cet espace et l’image
de (f i ) i=s+1,...,n est une base du noyau de la projection I( ˜
G(F )) O,loc →
SI( ˜
G(F )) O,loc ;
– I
˜
G (τ i , f j ) =
1, si i = j,
0, si i = j.
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II.2.2 Germes de Shalika et stabilité
Dans le paragraphe précédent, on a défini la notion de germe d’application linéaire sur D g´ eom ( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F ))
∗ au voisinage de O, à valeurs dans un
espace vectoriel complexe E, quand O était une classe de conjugaison semi-simple
par G(F ). La définition se généralise au cas où O est une réunion finie de telles
classes. Dans ce cas, décomposons O en union finie ∪ i=1,...,n O i de classes de conjugaison. Pour tout i = 1, . . . , n considérons le germe de Shalika g Oi relatif à O i .
On peut fixer pour tout i un voisinage ˜
U i ∈ U(O i ) de sorte que g Oi soit défini
sur D g´ eom ( ˜
U i , ω) ⊗ Mes(G(F ))
∗ . On peut supposer les ˜
U i deux à deux disjoints.
Posons ˜
U = ∪ i=1,...,n ˜
U i . Alors g O = ⊕ i=1,...,n g Oi est une application linéaire à
valeurs dans D g´ eom (O, ω) ⊗ Mes(G(F ))
∗ , définie sur
⊕ i=1,...,n D g´ eom ( ˜
U i , ω) ⊗ Mes(G(F ))
∗ = D g´ eom ( ˜
U , ω) ⊗ Mes(G(F ))
∗ .
Le germe de cette application est uniquement défini.
Supposons maintenant (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Soit
O ⊂ ˜
G(F ) une classe de conjugaison stable semi-simple. Pour étudier les distributions stables, il convient d’adapter les définitions en remplaçant l’ensemble de
voisinages U(O) par son sous-ensemble U
st (O) des ˜
U qui vérifient la condition :
pour γ, γ
∈ ˜
G reg (F ) stablement conjugués, γ appartient à ˜
U si et seulement si
γ
∈ ˜
U . Cela ne crée pas de difficultés car tout élément de U(O) contient un voisinage vérifiant cette condition ([I] 4.6). On dispose du germe g O ci-dessus.Fixons un
sous-ensemble ˜
V ⊂ ˜
G reg (F ), ouvert et dense et invariant par conjugaison stable.
Lemme. Pour δ ∈ D
st
g´ eom ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F ))
∗ , g O (δ) appartient à D
st
g´ eom (O) ⊗
Mes(G(F ))
∗ pourvu que δ soit assez proche de O. Pour tout τ ∈ D
st
g´ eom (O) ⊗
Mes(G(F ))
∗ , il existe δ ∈ D
st
g´ eom ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F ))
∗ , à support dans ˜
V et aussi
proche que l’on veut de O, de sorte que g O (δ) = τ .
Preuve. On oublie les espaces de mesures.
L’espace D g´ eom (O) est le dual de I( ˜
G(F )) O,loc , cf. [I] 5.1, tandis que
D
st
g´ eom (O) est le dual de son quotient SI( ˜
G(F )) O,loc . On peut donc fixer une
base (τ i ) i=1,...,n de D g´ eom (O), un entier s ∈ {0, . . . , n} et une famille (f i ) i=1,...,n
d’éléments de I( ˜
G(F )) de sorte que
– (τ i ) i=1,...,s est une base de D
st
g´ eom (O) et (τ i ) i=s+1,...,n est une base d’un
supplémentaire de D
st
g´ eom (O) dans D g´ eom (O) ;
– l’image de (f i ) i=1,...,n dans I( ˜
G(F )) O,loc est une base de cet espace et l’image
de (f i ) i=s+1,...,n est une base du noyau de la projection I( ˜
G(F )) O,loc →
SI( ˜
G(F )) O,loc ;
– I
˜
G (τ i , f j ) =
1, si i = j,
0, si i = j.