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Chapitre II. Enoncés des résultats
Comme on vient de le dire, ces germes sont définis au voisinage de η dans
˜
G(F ), mais leurs restrictions à ˜
G reg (F ) sont d’un intérêt particulier. On sait que les
restrictions des g i (., ω) à ˜
G reg (F ) sont homogènes, c’est-à-dire qu’il existe d i ∈ N
tel que
g i (exp(λ
2 X)η, ω) = |λ|
di
F g i (exp(X)η, ω)
pour tout X ∈ g η,reg (F ) assez proche de 0 et tout λ ∈ F
× de valuation positive ou
nulle. On sait aussi que les restrictions de ces germes à ˜
G reg (F ) séparent les orbites
u i . C’est-à-dire que l’on peut trouver des familles (γ i ) i=1,...,n formées d’éléments de
˜
G reg (F ) aussi proches de η que l’on veut, de sorte que la matrice (g i (γ j , ω)) i,j=1,...,n
soit inversible. On peut raffiner ce résultat : fixons un sous-ensemble ˜
V ouvert et
dense dans ˜
G reg (F ) ; alors on peut imposer aux γ i d’appartenir à ˜
V .
Reformulons les définitions de façon plus abstraite. Soit O une classe de
conjugaison (par G(F )) semi-simple. Considérons l’ensemble U(O) des voisinages
ouverts et fermés ˜
U de O qui sont invariants par conjugaison et tels que, pour
tout γ ∈ ˜
G(F ), γ appartient à ˜
U si et seulement si la partie semi-simple γ ss
appartient à ˜
U . Pour un tel voisinage ˜
U , on note D g´ eom ( ˜
U , ω) le sous-espace des
éléments de D g´ eom ( ˜
G(F ), ω) à support dans ˜
U . Pour une propriété dépendant
d’un élément γ ∈ D g´ eom ( ˜
G(F ), ω) nous dirons qu’elle est vérifiée «pour γ assez
proche de O» si et seulement s’il existe ˜
U ∈ U(O) tel que la propriété soit vérifiée
pour γ ∈ D g´ eom ( ˜
U , ω). Soit E un espace vectoriel sur C. Considérons l’ensemble
des couples ( ˜
U , g), où ˜
U ∈ U(O) et g : D g´ eom ( ˜
U ) ⊗ Mes(G(F ))
∗
→ E est une
application linéaire. Disons que deux couples ( ˜
U , g) et ( ˜
U
, g
) sont équivalents si
et seulement s’il existe ˜
U
∈ U(O), avec ˜
U
⊂ ˜
U ∩ ˜
U
, tel que les restrictions de g
et g
à D g´ eom ( ˜
U
) ⊗ Mes(G(F ))
∗ coïncident. Une classe d’équivalence sera appelée
un germe d’application linéaire sur D g´ eom ( ˜
G(F ))⊗Mes(G(F ))
∗ au voisinage de O,
à valeurs dans E. Un tel germe sera noté simplement g et sera considéré comme
une application linéaire D g´ eom ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F ))
∗
→ E, dont la valeur n’est
bien définie que pour des éléments de D g´ eom ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F ))
∗ assez proches
de O.
On peut reformuler la définition des germes de Shalika en disant qu’il existe
un unique germe d’application linéaire g O sur D g´ eom ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F ))
∗ au
voisinage de O, à valeurs dans D g´ eom (O, ω) ⊗ Mes(G(F ))
∗ , de sorte que, pour tout
f ∈ I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )) et tout γ ∈ D g´ eom ( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F ))
∗ , on ait
l’égalité
I
˜
G (γ, f ) = I
˜
G (g O (γ), f )
pourvu que γ soit assez proche de O. La propriété de séparation des orbites se
traduit de la façon suivante. Soit ˜
V un sous-ensemble ouvert et dense dans ˜
G reg (F ),
invariant par conjugaison par G(F ). Alors
(1) pour tout τ ∈ D g´ eom (O, ω) ⊗ Mes(G(F ))
∗ , il existe γ ∈ D g´ eom ( ˜
G(F ), ω) ⊗
Mes(G(F ))
∗ , à support dans ˜
V et aussi proche que l’on veut de O, de sorte
que g O (γ) = τ .