II.2. Germes de Shalika
259
II.1.16 Le théorème principal
Soient (G, ˜
G, a) un triplet quelconque et ˜
M un espace de Levi de ˜
G.
Théorème (à prouver).
(i) Soient γ ∈ D g´ eom ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ et f ∈ I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )).
Alors on a l’égalité
I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) = I
˜
G
˜
M
(γ, f ).
(ii) Supposons que (G, ˜
G, a) soit quasi-déployé et à torsion intérieure. Fixons
un système de fonctions B comme en 1.9. Soient γ ∈ D g´ eom ( ˜
M (F )) ⊗
Mes(M (F ))
∗ et f ∈ I( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )). Alors on a l’égalité
I
˜
G,E
˜
M
(γ, B, f ) = I
˜
G
˜
M
(γ, B, f ).
Comme le théorème 1.10, l’assertion (ii) sera prouvée en deux temps. D’abord
en [III] 2.9 mais sous une hypothèse de régularité de γ. Cette hypothèse sera levée
et l’assertion sera entièrement démontrée en [III] 7.5. La preuve de l’assertion
(i) sera beaucoup plus longue. En [III] 7.4, nous montrerons que l’assertion est
vérifiée pour tout γ si elle l’est pour les γ à support fortement régulier dans ˜
G.
Pour de tels éléments, la preuve sera donnée dans le chapitre X. On montrera
en X.3.5 que l’assertion est vérifiée pourvu que l’on puisse trouver des données
globales (c’est-à-dire définies sur un corps de nombres) dont nos présentes données
apparaissent comme les «composantes» en une place et que ces données globales
vérifient certaines conditions. L’existence de telles données globales sera établie en
[X].7.7, ce qui achèvera la démonstration.
Remarque. Quand G est quasi-déployé, ˜
G = G, a = 1 et B est le système de
fonctions constant de valeur 1, le (ii) a été prouvé par Arthur pour γ à support
fortement ˜
G-régulier. Notre preuve de l’assertion (ii) consistera à la déduire du
résultat d’Arthur.
II.2 Germes de Shalika
II.2.1 Germes de Shalika ordinaires
Soit (G, ˜
G, a) un triplet quelconque comme en 1.1. Soit η ∈ ˜
G ss (F ). Fixons un
ensemble de représentants {u i ; i, . . . , n} des classes de conjugaison par Z G (η; F )
dans l’ensemble des éléments unipotents u ∈ G η (F ) tels que ω est trivial sur
Z G (ηu; F ). On fixe des mesures sur tous les groupes intervenant. La théorie des
germes de Shalika nous dit que, pour tout i = 1, . . . , n, il existe un unique germe
g i (., ω) de fonction définie au voisinage de η dans ˜
G(F ), de sorte que, pour tout
f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )) et tout γ ∈ ˜
G(F ), on ait l’égalité
I
˜
G (γ, ω, f ) =
i=1,...,n
g i (γ, ω)I
˜
G (ηu i , ω, f)
pourvu que γ soit assez proche de η.
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II.1.16 Le théorème principal
Soient (G, ˜
G, a) un triplet quelconque et ˜
M un espace de Levi de ˜
G.
Théorème (à prouver).
(i) Soient γ ∈ D g´ eom ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ et f ∈ I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )).
Alors on a l’égalité
I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) = I
˜
G
˜
M
(γ, f ).
(ii) Supposons que (G, ˜
G, a) soit quasi-déployé et à torsion intérieure. Fixons
un système de fonctions B comme en 1.9. Soient γ ∈ D g´ eom ( ˜
M (F )) ⊗
Mes(M (F ))
∗ et f ∈ I( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )). Alors on a l’égalité
I
˜
G,E
˜
M
(γ, B, f ) = I
˜
G
˜
M
(γ, B, f ).
Comme le théorème 1.10, l’assertion (ii) sera prouvée en deux temps. D’abord
en [III] 2.9 mais sous une hypothèse de régularité de γ. Cette hypothèse sera levée
et l’assertion sera entièrement démontrée en [III] 7.5. La preuve de l’assertion
(i) sera beaucoup plus longue. En [III] 7.4, nous montrerons que l’assertion est
vérifiée pour tout γ si elle l’est pour les γ à support fortement régulier dans ˜
G.
Pour de tels éléments, la preuve sera donnée dans le chapitre X. On montrera
en X.3.5 que l’assertion est vérifiée pourvu que l’on puisse trouver des données
globales (c’est-à-dire définies sur un corps de nombres) dont nos présentes données
apparaissent comme les «composantes» en une place et que ces données globales
vérifient certaines conditions. L’existence de telles données globales sera établie en
[X].7.7, ce qui achèvera la démonstration.
Remarque. Quand G est quasi-déployé, ˜
G = G, a = 1 et B est le système de
fonctions constant de valeur 1, le (ii) a été prouvé par Arthur pour γ à support
fortement ˜
G-régulier. Notre preuve de l’assertion (ii) consistera à la déduire du
résultat d’Arthur.
II.2 Germes de Shalika
II.2.1 Germes de Shalika ordinaires
Soit (G, ˜
G, a) un triplet quelconque comme en 1.1. Soit η ∈ ˜
G ss (F ). Fixons un
ensemble de représentants {u i ; i, . . . , n} des classes de conjugaison par Z G (η; F )
dans l’ensemble des éléments unipotents u ∈ G η (F ) tels que ω est trivial sur
Z G (ηu; F ). On fixe des mesures sur tous les groupes intervenant. La théorie des
germes de Shalika nous dit que, pour tout i = 1, . . . , n, il existe un unique germe
g i (., ω) de fonction définie au voisinage de η dans ˜
G(F ), de sorte que, pour tout
f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )) et tout γ ∈ ˜
G(F ), on ait l’égalité
I
˜
G (γ, ω, f ) =
i=1,...,n
g i (γ, ω)I
˜
G (ηu i , ω, f)
pourvu que γ soit assez proche de η.