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Chapitre II. Enoncés des résultats
Pour f ∈ I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )), on pose
I
˜
G,E
˜
M
(γ, f ) =
M ∈E( ˜
M,a)
I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ M , f ).
Cette définition est loisible puisque le lemme ci-dessus nous dit que le membre de
droite ne dépend pas de la famille (δ M ) M ∈E( ˜
M,a) choisie.
Soit ˜
R un espace de Levi de ˜
M et soit γ ∈ D g´ eom ( ˜
R(F ), ω) ⊗ Mes(R(F ))
∗ .
Alors on a l’égalité
(1)
I
˜
G,E
˜
M
(γ
˜
M , f ) =
˜
L∈L( ˜
R)
d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L)I
˜
L,E
˜
R
(γ, f ˜
L,ω ).
Preuve. Par linéarité, on peut supposer qu’il existe
R
∈ E( ˜
R, a) et δ ∈ D
st
g´ eom (R
) ⊗ Mes(R
(F ))
∗
tels que γ soit le transfert de δ. Ecrivons R
= (R
, R
, ˜
s). De ˜
M se déduit une
donnée endoscopique M
= (M
, M
, ˜
s). Quitte à multiplier ˜
s par un élément
de Z( ˆ
R)
ΓF , ˆ
θ , on peut supposer M
elliptique. Par compatibilité du transfert à
l’induction, γ
˜
M est le transfert de δ
M
. Par définition, on a alors
I
˜
G,E
˜
M
(γ
˜
M , f ) = I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ
M
, f ).
On applique la proposition 1.14(i) :
I
˜
G,E
˜
M
(γ
˜
M , f ) =
˜
L∈L( ˜
R)
d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L)I
˜
L,E
˜
R
(R
, δ, f ˜
L,ω ).
Toujours par définition, on a pour tout ˜
L l’égalité
I
˜
L,E
˜
R
(R
, δ, f ˜
L,ω ) = I
˜
L,E
˜
R
(γ, f ˜
L,ω ).
L’égalité (1) s’ensuit.
Variante. Supposons que (G, ˜
G, a) soit quasi-déployé et à torsion intérieure. Fixons
un système de fonctions B comme en 1.9. Pour γ ∈ D g´ eom ( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗
et f ∈ I( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )), on définit I
˜
G,E
˜
M
(γ, B, f ) de la même façon que cidessus. Ce terme vérifie l’analogue de la relation (1).
Variante. Supposons G = ˜
G et a = 1. Soit B une fonction comme en 1.8. Pour γ ∈
D unip (M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ et f ∈ I(G(F )) ⊗ Mes(G(F )), on définit I
G,E
M (γ, B, f )
de la même façon que ci-dessus. Ce terme vérifie l’analogue de la relation (1).