II.1. Intégrales orbitales pondérées
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Variante. Supposons (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Fixons un
système de fonctions B comme en 1.9. On a des assertions analogues à (i) et (iii)
pour les intégrales I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ
M
, B, f ). En fait, sur notre corps F non-archimédien,
les hypothèses de (iii) ne sont jamais vérifiées car, dans la situation quasi-déployée
et à torsion intérieure, un groupe de Levi R
de M
est toujours relevant.
Variante. Supposons G = ˜
G et a = 1. Fixons une fonction B comme en 1.8. On
a des assertions analogues à (i) et (iii) pour les intégrales I
G,E
M (M
, δ
M
, B, f ), en
supposant δ
M
à support unipotent (puisque l’on n’a défini ces termes que sous
cette hypothèse).
II.1.15 Intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes endoscopiques
Soient (G, ˜
G, a) un triplet quelconque et ˜
M un espace de Levi de ˜
G.
Lemme. Pour tout M
∈ E( ˜
M , a), soit δ M ∈ D
st
g´ eom (M
) ⊗ Mes(M
(F ))
∗ . Supposons
M ∈E( ˜
M,a)
transfert(δ M ) = 0.
Alors
M ∈E( ˜
M,a)
I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ M , f ) = 0
pour tout f ∈ I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )).
Preuve. Par linéarité, on peut fixer une classe de conjugaison géométrique semisimple O dans ˜
G(F ) et supposer que, pour tout M
, δ M appartient à
D
st
g´ eom (O ˜
M ) ⊗ Mes(M
(F ))
∗ ,
où O ˜
M est la réunion des classes de conjugaison géométriques dans ˜
M
(F ) correspondant à une classe dans O ∩ ˜
M (F ). D’après [I] proposition 5.7, il suffit de
prouver la conclusion de l’énoncé quand la famille (δ M ) M ∈E( ˜
M,a) appartient à
l’un des sous-espaces décrits par chacune des conditions (3), (4), (5) de cette référence. Dans le cas (3), l’assertion résulte du (iii) de la proposition 1.14. Dans
le cas (4), elle résulte du corollaire 1.13. Dans le cas (5), elle résulte du (i) de la
proposition 1.14.
Soit γ ∈ D g´ eom ( ˜
M (F ), ω) ⊗ Mes(M (F ))
∗ . Grâce à la proposition 5.7 de [I],
il existe une famille (δ M ) M ∈E( ˜
M,a) , avec δ M ∈ D
st
g´ eom (M
) ⊗ Mes(M
(F ))
∗ pour
tout M
, de sorte que
γ =
M ∈E( ˜
M,a)
transfert(δ M ).