254
Chapitre II. Enoncés des résultats
j(t
RR
sc ) = t
R
(t
R
)
−1 , j(t
L
sc ) = t
R
(t
L )
−1 . On a un diagramme similaire à (18) :
H
1 (Γ F ; T
L
ad
1−θ
→ Y RL )
×
H
1 (W F ; ˆ
Y RL
1− ˆ
θ
→ ˆ
T
L
sc )
↓
↑
H
1 (Γ F ; T
L
ad
1−θ
→ Y RRL )
×
H
1 (W F ; ˆ
Y RRL
1− ˆ
θ
→ ˆ
T
L
sc )
↑
↓
H
0 (Γ F ; Y RR ) × H
1 (Γ F ; T
L
ad
1−θ
→ Y L ) × H
1 (W F ; ˆ
Y RR ) × H
1 (W F ; ˆ
Y L
1− ˆ
θ
→ ˆ
T
L
sc )
Pour w ∈ W F , posons
Y RRL (w) = (w G (ρ)ρ
−1 , w G (ρ)ρ
−1 , w T L (ρ)ρ
−1 , 1, w G (ρ sc )w T L (ρ sc )
−1 ) ∈ ˆ
Y RRL .
Le couple (Y RRL , z sc ) définit un élément de H
1 (W F ; ˆ
Y RRL
1− ˆ
θ
→ ˆ
T
L
sc ) qui s’envoie sur
(Y RL , z sc ) par l’homomorphisme en haut à droite du diagramme ci-dessus. Notons y RRL l’image de (μ
R , 1, (ν
L )
−1 ) dans Y RRL . Alors (V
−1
T L ,ad
, y RRL ) est l’image
de (V
−1
T L ,ad , y RL ) par l’homomorphisme en haut à gauche du diagramme. Par compatibilité des produits,
(V
−1
T L ,ad
, y RL ), (Y RL , z sc )
=
(V
−1
T L ,ad
, y RRL ), (Y RRL , z sc )
.
Notons y RR l’image de (μ
R , (μ
R
)
−1 ) dans Y RR et y L celle de (μ
R
, (ν
L )
−1 ) dans
Y L . Pour w ∈ W F , posons
Y RR (w) = (w G (ρ)ρ
−1 , w G (ρ)ρ
−1 , 1) ∈ ˆ
Y RR ,
Y L (w) = (w G (ρ)ρ
−1 , w T L (ρ)ρ
−1 , w G (ρ sc )w T L (ρ sc )
−1 ) ∈ ˆ
Y L .
Le cocycle (V
−1
T L ,ad
, y RRL ) est l’image de la paire de cocycles (y RR , (V
−1
T L ,ad
, y L )) par
la flèche en bas à gauche du diagramme. La paire (Y RR , (Y L , z sc )) est l’image de
(Y RRL , z sc ) par la flèche en bas à droite. Par compatibilité des produits, on obtient
(23)
(V
−1
T L ,ad
, y RRL ), (Y RRL , z sc )
= y RR , Y RR
(V
−1
T L ,ad
, y L ), (Y L , z sc )
.
Montrons que
(24)
(V
−1
T L ,ad
, y L ), (Y L , z sc )
= 1.
Posons U ,L = (T
R
× T
L
sc )/ diag − (Z(G SC )) et X L = (T
R
× T
L )/ diag − (Z(G)).
Notons x L l’image de (ν
R
, μ
L ) dans X L . Il y a un homomorphisme naturel
(25)
H
1 (Γ F ; U L
1−θ
→ X L ) → H
1 (Γ F ; T
L
ad
1−θ
→ Y L ).
Le couple ((V T R
, V
−1
T L ), x L ) définit un élément du premier groupe qui s’envoie sur
l’élément (V
−1
T L ,ad , y L ) du second. Le tore ˆ
X L est formé des (t
R
, t
L , t sc ) ∈ ˆ
T
R
×
Chapitre II. Enoncés des résultats
j(t
RR
sc ) = t
R
(t
R
)
−1 , j(t
L
sc ) = t
R
(t
L )
−1 . On a un diagramme similaire à (18) :
H
1 (Γ F ; T
L
ad
1−θ
→ Y RL )
×
H
1 (W F ; ˆ
Y RL
1− ˆ
θ
→ ˆ
T
L
sc )
↓
↑
H
1 (Γ F ; T
L
ad
1−θ
→ Y RRL )
×
H
1 (W F ; ˆ
Y RRL
1− ˆ
θ
→ ˆ
T
L
sc )
↑
↓
H
0 (Γ F ; Y RR ) × H
1 (Γ F ; T
L
ad
1−θ
→ Y L ) × H
1 (W F ; ˆ
Y RR ) × H
1 (W F ; ˆ
Y L
1− ˆ
θ
→ ˆ
T
L
sc )
Pour w ∈ W F , posons
Y RRL (w) = (w G (ρ)ρ
−1 , w G (ρ)ρ
−1 , w T L (ρ)ρ
−1 , 1, w G (ρ sc )w T L (ρ sc )
−1 ) ∈ ˆ
Y RRL .
Le couple (Y RRL , z sc ) définit un élément de H
1 (W F ; ˆ
Y RRL
1− ˆ
θ
→ ˆ
T
L
sc ) qui s’envoie sur
(Y RL , z sc ) par l’homomorphisme en haut à droite du diagramme ci-dessus. Notons y RRL l’image de (μ
R , 1, (ν
L )
−1 ) dans Y RRL . Alors (V
−1
T L ,ad
, y RRL ) est l’image
de (V
−1
T L ,ad , y RL ) par l’homomorphisme en haut à gauche du diagramme. Par compatibilité des produits,
(V
−1
T L ,ad
, y RL ), (Y RL , z sc )
=
(V
−1
T L ,ad
, y RRL ), (Y RRL , z sc )
.
Notons y RR l’image de (μ
R , (μ
R
)
−1 ) dans Y RR et y L celle de (μ
R
, (ν
L )
−1 ) dans
Y L . Pour w ∈ W F , posons
Y RR (w) = (w G (ρ)ρ
−1 , w G (ρ)ρ
−1 , 1) ∈ ˆ
Y RR ,
Y L (w) = (w G (ρ)ρ
−1 , w T L (ρ)ρ
−1 , w G (ρ sc )w T L (ρ sc )
−1 ) ∈ ˆ
Y L .
Le cocycle (V
−1
T L ,ad
, y RRL ) est l’image de la paire de cocycles (y RR , (V
−1
T L ,ad
, y L )) par
la flèche en bas à gauche du diagramme. La paire (Y RR , (Y L , z sc )) est l’image de
(Y RRL , z sc ) par la flèche en bas à droite. Par compatibilité des produits, on obtient
(23)
(V
−1
T L ,ad
, y RRL ), (Y RRL , z sc )
= y RR , Y RR
(V
−1
T L ,ad
, y L ), (Y L , z sc )
.
Montrons que
(24)
(V
−1
T L ,ad
, y L ), (Y L , z sc )
= 1.
Posons U ,L = (T
R
× T
L
sc )/ diag − (Z(G SC )) et X L = (T
R
× T
L )/ diag − (Z(G)).
Notons x L l’image de (ν
R
, μ
L ) dans X L . Il y a un homomorphisme naturel
(25)
H
1 (Γ F ; U L
1−θ
→ X L ) → H
1 (Γ F ; T
L
ad
1−θ
→ Y L ).
Le couple ((V T R
, V
−1
T L ), x L ) définit un élément du premier groupe qui s’envoie sur
l’élément (V
−1
T L ,ad , y L ) du second. Le tore ˆ
X L est formé des (t
R
, t
L , t sc ) ∈ ˆ
T
R
×