II.1. Intégrales orbitales pondérées
253
dans Z( ˆ
G SC )
ΓF / Ann(u G ) du groupe Z( ˆ
G SC )
ΓF
∩ Z( ˆ
R sc )
ΓF ,0 n’est pas réduite
à l’identité (Arthur énonce ce lemme après passage à une forme quasi-déployée,
mais c’est équivalent à notre assertion). Il nous suffit de prouver que, pour tout
v ∈ Z( ˆ
G SC )
ΓF
∩ Z( ˆ
R sc )
ΓF ,0 , on peut trouver (z, ρ) ∈ Z 0 et effectuer les divers
choix nécessaires de sorte que v soit l’élément associé ci-dessus à (z, ρ). Rappelons
les deux égalités
Z( ˆ
R sc )
ΓF ,0 = Z( ˆ
R sc )
ΓF , ˆ
θ,0 (1 − ˆ
θ)(Z( ˆ
R sc )
ΓF ,0 ),
Z( ˆ
R sc )
ΓF , ˆ
θ,0 = Z( ˆ
M sc )
ΓF , ˆ
θ,0 Z( ˆ
L sc )
ΓF , ˆ
θ,0 .
Un élément v ∈ Z( ˆ
G SC )
ΓF
∩ Z( ˆ
R sc )
ΓF ,0 peut donc s’écrire v = (τ
sc )
−1 z sc (1 −
ˆ
θ)(ρ
−1
sc ), avec τ
sc ∈ Z( ˆ
L sc )
ΓF , ˆ
θ,0 , z sc ∈ Z( ˆ
M sc )
ΓF , ˆ
θ,0 et ρ sc ∈ Z( ˆ
R sc )
ΓF ,0 . Posons
z = π(z sc ). On a z sc = τ sc (1− ˆ
θ)(ρ sc ), où τ sc = τ
sc v ∈ Z( ˆ
L sc )
ΓF . Donc (z, ρ) ∈ Z 0 .
On peut choisir les éléments ρ sc et z sc pour effectuer nos calculs. L’élément τ sc
apparaissant plus haut est celui que l’on vient de définir et on peut ensuite choisir
v comme relèvement dans Z( ˆ
G SC )
ΓF de l’image de τ sc dans Z( ˆ
L sc )
ΓF /Z( ˆ
L sc )
ΓF ,0 .
Cela prouve l’assertion et achève de prouver l’assertion (iii) de la proposition dans
le cas où ˆ
R ne correspond pas à un Levi de G.
Supposons maintenant que l’on soit dans le cas (8), c’est-à-dire que ˆ
R corresponde à un Levi de G donc aussi à un espace de Levi ˜
R de ˜
G, et que le support
de δ soit contenu dans l’ensemble noté ˜
R
(F )
out en (8). On prend Z maximal,
c’est-à-dire
Z = (Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ
∩ (Z( ˆ
L)
ΓF (1 − ˆ
θ)(Z( ˆ
R) ∗ )))/Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ
et on note Z 0 l’ensemble des (z, ρ) ∈ Z × Z( ˆ
R) ∗ tels que z(1 − ˆ
θ)(ρ)
−1
∈ Z( ˆ
L)
ΓF .
Soit (z, ρ) un élément de cet ensemble. On peut supposer que ˜
R est inclus dans
˜
M et ˜
L. Le triplet R
= (R
, R
, ζ) est une donnée endoscopique elliptique de ˜
R
mais elle n’est pas relevante. Fixons un élément assez régulier r ∈ ˜
R(F ). Bien
qu’il ne corresponde à aucun élément de ˜
R
1 (F ), on peut lui associer une partie
des données que l’on a associées à l ou m : le tore T
R
(commutant de R r ), le tore
T
R
= T
R
/(1 − θ)(T
R
) (ou ici θ = ad r ), un élément ν
R
∈ T
R
et son image μ
R
dans T
R
, une cochaîne V T R
. Posons
Y RRL = (T
R
× T
R
× T
L )/{(z
R
, z
R
, z
L ) ∈ Z(G)
3 ; z
R
z
R
z
L = 1}
(par abus d’écriture, on ne distingue pas un élément de Z(G) de ses images naturelles dans différents quotients) ;
Y
RR = (T
R
× T
R
)/ diag − (Z(G)),
Y
L = (T
R
× T
L )/ diag − (Z(G)).
Leurs tores duaux se décrivent de façon similaire aux précédents, par exemple
ˆ
Y
RRL est le groupe des (t
R
, t
R
, t
L , t
RR
sc , t
L
sc ) ∈ ˆ
T
R
× ˆ
T
R
× ˆ
T
ˆ
θ
sc × ˆ
T sc tels que
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dans Z( ˆ
G SC )
ΓF / Ann(u G ) du groupe Z( ˆ
G SC )
ΓF
∩ Z( ˆ
R sc )
ΓF ,0 n’est pas réduite
à l’identité (Arthur énonce ce lemme après passage à une forme quasi-déployée,
mais c’est équivalent à notre assertion). Il nous suffit de prouver que, pour tout
v ∈ Z( ˆ
G SC )
ΓF
∩ Z( ˆ
R sc )
ΓF ,0 , on peut trouver (z, ρ) ∈ Z 0 et effectuer les divers
choix nécessaires de sorte que v soit l’élément associé ci-dessus à (z, ρ). Rappelons
les deux égalités
Z( ˆ
R sc )
ΓF ,0 = Z( ˆ
R sc )
ΓF , ˆ
θ,0 (1 − ˆ
θ)(Z( ˆ
R sc )
ΓF ,0 ),
Z( ˆ
R sc )
ΓF , ˆ
θ,0 = Z( ˆ
M sc )
ΓF , ˆ
θ,0 Z( ˆ
L sc )
ΓF , ˆ
θ,0 .
Un élément v ∈ Z( ˆ
G SC )
ΓF
∩ Z( ˆ
R sc )
ΓF ,0 peut donc s’écrire v = (τ
sc )
−1 z sc (1 −
ˆ
θ)(ρ
−1
sc ), avec τ
sc ∈ Z( ˆ
L sc )
ΓF , ˆ
θ,0 , z sc ∈ Z( ˆ
M sc )
ΓF , ˆ
θ,0 et ρ sc ∈ Z( ˆ
R sc )
ΓF ,0 . Posons
z = π(z sc ). On a z sc = τ sc (1− ˆ
θ)(ρ sc ), où τ sc = τ
sc v ∈ Z( ˆ
L sc )
ΓF . Donc (z, ρ) ∈ Z 0 .
On peut choisir les éléments ρ sc et z sc pour effectuer nos calculs. L’élément τ sc
apparaissant plus haut est celui que l’on vient de définir et on peut ensuite choisir
v comme relèvement dans Z( ˆ
G SC )
ΓF de l’image de τ sc dans Z( ˆ
L sc )
ΓF /Z( ˆ
L sc )
ΓF ,0 .
Cela prouve l’assertion et achève de prouver l’assertion (iii) de la proposition dans
le cas où ˆ
R ne correspond pas à un Levi de G.
Supposons maintenant que l’on soit dans le cas (8), c’est-à-dire que ˆ
R corresponde à un Levi de G donc aussi à un espace de Levi ˜
R de ˜
G, et que le support
de δ soit contenu dans l’ensemble noté ˜
R
(F )
out en (8). On prend Z maximal,
c’est-à-dire
Z = (Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ
∩ (Z( ˆ
L)
ΓF (1 − ˆ
θ)(Z( ˆ
R) ∗ )))/Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ
et on note Z 0 l’ensemble des (z, ρ) ∈ Z × Z( ˆ
R) ∗ tels que z(1 − ˆ
θ)(ρ)
−1
∈ Z( ˆ
L)
ΓF .
Soit (z, ρ) un élément de cet ensemble. On peut supposer que ˜
R est inclus dans
˜
M et ˜
L. Le triplet R
= (R
, R
, ζ) est une donnée endoscopique elliptique de ˜
R
mais elle n’est pas relevante. Fixons un élément assez régulier r ∈ ˜
R(F ). Bien
qu’il ne corresponde à aucun élément de ˜
R
1 (F ), on peut lui associer une partie
des données que l’on a associées à l ou m : le tore T
R
(commutant de R r ), le tore
T
R
= T
R
/(1 − θ)(T
R
) (ou ici θ = ad r ), un élément ν
R
∈ T
R
et son image μ
R
dans T
R
, une cochaîne V T R
. Posons
Y RRL = (T
R
× T
R
× T
L )/{(z
R
, z
R
, z
L ) ∈ Z(G)
3 ; z
R
z
R
z
L = 1}
(par abus d’écriture, on ne distingue pas un élément de Z(G) de ses images naturelles dans différents quotients) ;
Y
RR = (T
R
× T
R
)/ diag − (Z(G)),
Y
L = (T
R
× T
L )/ diag − (Z(G)).
Leurs tores duaux se décrivent de façon similaire aux précédents, par exemple
ˆ
Y
RRL est le groupe des (t
R
, t
R
, t
L , t
RR
sc , t
L
sc ) ∈ ˆ
T
R
× ˆ
T
R
× ˆ
T
ˆ
θ
sc × ˆ
T sc tels que