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Chapitre II. Enoncés des résultats
τ sc ∈ Z( ˆ
L sc )
ΓF . Notons encore τ sc son image dans Z( ˆ
L sc )
ΓF /Z( ˆ
L sc )
ΓF ,0 et notons u
L l’image de V
−1
T L ,ad
dans H
1 (Γ F , L ad ). On obtient que ˜
λ z,ρ est la fonction
constante de valeur
u
L , τ sc
, où il s’agit du produit sur
H
1 (Γ F ; L ad ) × Z( ˆ
L sc )
ΓF /Z( ˆ
L sc )
ΓF ,0 .
L’homomorphisme
Z( ˆ
G SC )
ΓF /Z( ˆ
G SC )
ΓF ,0
→ Z( ˆ
L sc )
ΓF /Z( ˆ
L sc )
ΓF ,0
est surjectif. Choisissons v ∈ Z( ˆ
G SC )
ΓF /Z( ˆ
G SC )
ΓF ,0 qui s’envoie sur τ sc . Notons
u l’image de u
L dans H
1 (Γ F , G AD ). Alors la valeur de ˜
λ z,ρ est aussi égale à u, v,
où il s’agit du produit sur
H
1 (Γ F ; G AD ) × Z( ˆ
G SC )
ΓF /Z( ˆ
G SC )
ΓF ,0 .
Pour construire V T L , cf. [I] 2.2, on a fixé une paire de Borel épinglée E de G et on
a énoncé l’égalité dV T L = du E dans H
2 (Γ F ; Z(G SC )). L’application σ → u E (σ) ad
est un cocycle à valeurs dans G AD dont la classe de cohomologie ne dépend pas
de E. Notons-la u G . Parce que l’application H
1 (Γ F ; G AD ) → H
2 (Γ F ; Z(G SC ))
est injective, l’égalité rappelée ci-dessus montre que u = u G . Par l’accouplement
ci-dessus, u G définit un caractère de Z( ˆ
G SC )
ΓF . Notons Ann(u G ) ⊂ Z( ˆ
G SC )
ΓF le
noyau de ce caractère et v z,ρ l’image de v dans le quotient Z( ˆ
G SC )
ΓF / Ann(u G ).
On a effectué divers choix pour construire cet élément. Mais le résultat de notre
calcul montre que celui-ci ne dépend pas de ces choix. On a donc une application
Z 0
→ Z( ˆ
G SC )
ΓF / Ann(u G )
(z, ρ) →
v z,ρ .
C’est un homomorphisme à valeurs dans un groupe fini. Notons J son image.
Fixons un sous-ensemble Z 1 de l’ensemble de départ se projetant bijectivement
sur J. Fixons aussi un sous-ensemble Z 2 se projetant bijectivement sur Z. Notons
Z l’ensemble des produits (z 1 , ρ 1 )(z 2 , ρ 2 ), pour (z 1 , ρ 1 ) ∈ Z 1 et (z 2 , ρ 2 ) ∈ Z 2 . On
vérifie que les deux projections
Z
Z
J
sont surjectives et toutes leurs fibres ont même nombre d’éléments. La somme (22)
est donc proportionnelle à
v∈J
u, v .
Pour démontrer la relation (22), il suffit de prouver que J = {1}. On utilise
le lemme 2.1 de [16] : puisque ˆ
R ne correspond pas à un Levi de G, l’image
Chapitre II. Enoncés des résultats
τ sc ∈ Z( ˆ
L sc )
ΓF . Notons encore τ sc son image dans Z( ˆ
L sc )
ΓF /Z( ˆ
L sc )
ΓF ,0 et notons u
L l’image de V
−1
T L ,ad
dans H
1 (Γ F , L ad ). On obtient que ˜
λ z,ρ est la fonction
constante de valeur
u
L , τ sc
, où il s’agit du produit sur
H
1 (Γ F ; L ad ) × Z( ˆ
L sc )
ΓF /Z( ˆ
L sc )
ΓF ,0 .
L’homomorphisme
Z( ˆ
G SC )
ΓF /Z( ˆ
G SC )
ΓF ,0
→ Z( ˆ
L sc )
ΓF /Z( ˆ
L sc )
ΓF ,0
est surjectif. Choisissons v ∈ Z( ˆ
G SC )
ΓF /Z( ˆ
G SC )
ΓF ,0 qui s’envoie sur τ sc . Notons
u l’image de u
L dans H
1 (Γ F , G AD ). Alors la valeur de ˜
λ z,ρ est aussi égale à u, v,
où il s’agit du produit sur
H
1 (Γ F ; G AD ) × Z( ˆ
G SC )
ΓF /Z( ˆ
G SC )
ΓF ,0 .
Pour construire V T L , cf. [I] 2.2, on a fixé une paire de Borel épinglée E de G et on
a énoncé l’égalité dV T L = du E dans H
2 (Γ F ; Z(G SC )). L’application σ → u E (σ) ad
est un cocycle à valeurs dans G AD dont la classe de cohomologie ne dépend pas
de E. Notons-la u G . Parce que l’application H
1 (Γ F ; G AD ) → H
2 (Γ F ; Z(G SC ))
est injective, l’égalité rappelée ci-dessus montre que u = u G . Par l’accouplement
ci-dessus, u G définit un caractère de Z( ˆ
G SC )
ΓF . Notons Ann(u G ) ⊂ Z( ˆ
G SC )
ΓF le
noyau de ce caractère et v z,ρ l’image de v dans le quotient Z( ˆ
G SC )
ΓF / Ann(u G ).
On a effectué divers choix pour construire cet élément. Mais le résultat de notre
calcul montre que celui-ci ne dépend pas de ces choix. On a donc une application
Z 0
→ Z( ˆ
G SC )
ΓF / Ann(u G )
(z, ρ) →
v z,ρ .
C’est un homomorphisme à valeurs dans un groupe fini. Notons J son image.
Fixons un sous-ensemble Z 1 de l’ensemble de départ se projetant bijectivement
sur J. Fixons aussi un sous-ensemble Z 2 se projetant bijectivement sur Z. Notons
Z l’ensemble des produits (z 1 , ρ 1 )(z 2 , ρ 2 ), pour (z 1 , ρ 1 ) ∈ Z 1 et (z 2 , ρ 2 ) ∈ Z 2 . On
vérifie que les deux projections
Z
Z
J
sont surjectives et toutes leurs fibres ont même nombre d’éléments. La somme (22)
est donc proportionnelle à
v∈J
u, v .
Pour démontrer la relation (22), il suffit de prouver que J = {1}. On utilise
le lemme 2.1 de [16] : puisque ˆ
R ne correspond pas à un Levi de G, l’image