II.1. Intégrales orbitales pondérées
251
ρ par un élément de Z( ˆ
R) ∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 . On peut maintenant oublier cette modification,
car la formule (21) y est insensible. En effet, si on multiplie ρ par ρ
∈ Z( ˆ
R) ∩ ˆ
T
ˆ
θ,0
cela ne change que Y RL , qui est multiplié par le cocycle Y
RL défini par
Y
RL (w) = (w G (ρ
)(ρ
)
−1 , w T L (ρ
)(ρ
)
−1 , w G (ρ
sc )w T L (ρ
sc )
−1 ).
Or le couple (Y
RL , 1) est le cobord de l’élément (ρ
, ρ
, 1) ∈ ˆ
Y RL , donc disparaît
par passage aux groupes de cohomologie.
Considérons l’ensemble des couples (z, ρ) ∈ Z×Z( ˆ
R) ∗ tels que z(1− ˆ
θ)(ρ)
−1
∈
Z( ˆ
L)
ΓF . C’est un groupe qui se projette sur Z. Fixons-en un sous-ensemble fini Z
tel que la projection Z → Z soit surjective et que ses fibres aient toutes le même
nombre d’éléments. La formule (21) est valable pour tout (z, ρ) ∈ Z. La formule
(10) à prouver est équivalente à
(z,ρ)∈Z
S
˜
L
(z ˜
ζ)1
˜
R (z ˜
ζ)1,λ(z ˜
ζ)1
(δ(z ˜
ζ) 1 , B
˜
L , (f ˜
L,ω )
˜
L
(z ˜
ζ)1 ) = 0,
ou encore
(z,ρ)∈Z
S
˜
L
( ˜
ζ)1
˜
R ( ˜
ζ)1,λ( ˜
ζ)1
(ι(z, ρ)
L,∗
◦ (ι(z)
M,∗ )
−1 (δ( ˜
ζ) 1 ), B
˜
L , (f ˜
L,ω )
˜
L
( ˜
ζ)1 ) = 0.
Il suffit pour cela de prouver que
(z,ρ)∈Z
ι(z, ρ)
L,∗
◦ (ι(z)
M,∗ )
−1 (δ( ˜
ζ) 1 ) = 0
et il suffit encore de prouver
(22)
(z,ρ)∈Z
˜
λ z,ρ (r
1 ) = 0
pour tout r
1 dans un voisinage du support de δ( ˜
ζ) 1 dans R
( ˜
ζ) 1 (F ).
Supposons que l’on soit dans le cas (7), c’est-à-dire que ˆ
R ne corresponde
pas à un Levi de G. On choisit
Z = (Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ
∩ (Z( ˆ
L)
ΓF (1 − ˆ
θ) ◦ π(Z( ˆ
R sc )
ΓF )))/Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ .
Notons Z 0 l’ensemble des (z, ρ) ∈ Z × π(Z( ˆ
R sc )
ΓF ) tels que z(1 − ˆ
θ)(ρ)
−1
∈
Z( ˆ
L)
ΓF . Appliquons les calculs précédents à un couple (z, ρ) ∈ Z 0 . On peut supposer ρ sc ∈ Z( ˆ
R sc )
ΓF et ρ = π(ρ sc ). Le terme (1, ρ, ρ
−1
sc ) appartient à ˆ
Y RL . On
peut remplacer (Y RL , z sc ) par son produit avec le cobord associé cet élément.
Ce produit n’est autre que (1, τ sc ), où τ sc = z sc (1 − ˆ
θ)(ρ sc )
−1
∈ ˆ
T
L,ΓF
sc
. On a
écrit z = τ (1 − ˆ
θ)(ρ). On voit que τ sc a même image que τ dans ˆ
G AD . Donc
251
ρ par un élément de Z( ˆ
R) ∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 . On peut maintenant oublier cette modification,
car la formule (21) y est insensible. En effet, si on multiplie ρ par ρ
∈ Z( ˆ
R) ∩ ˆ
T
ˆ
θ,0
cela ne change que Y RL , qui est multiplié par le cocycle Y
RL défini par
Y
RL (w) = (w G (ρ
)(ρ
)
−1 , w T L (ρ
)(ρ
)
−1 , w G (ρ
sc )w T L (ρ
sc )
−1 ).
Or le couple (Y
RL , 1) est le cobord de l’élément (ρ
, ρ
, 1) ∈ ˆ
Y RL , donc disparaît
par passage aux groupes de cohomologie.
Considérons l’ensemble des couples (z, ρ) ∈ Z×Z( ˆ
R) ∗ tels que z(1− ˆ
θ)(ρ)
−1
∈
Z( ˆ
L)
ΓF . C’est un groupe qui se projette sur Z. Fixons-en un sous-ensemble fini Z
tel que la projection Z → Z soit surjective et que ses fibres aient toutes le même
nombre d’éléments. La formule (21) est valable pour tout (z, ρ) ∈ Z. La formule
(10) à prouver est équivalente à
(z,ρ)∈Z
S
˜
L
(z ˜
ζ)1
˜
R (z ˜
ζ)1,λ(z ˜
ζ)1
(δ(z ˜
ζ) 1 , B
˜
L , (f ˜
L,ω )
˜
L
(z ˜
ζ)1 ) = 0,
ou encore
(z,ρ)∈Z
S
˜
L
( ˜
ζ)1
˜
R ( ˜
ζ)1,λ( ˜
ζ)1
(ι(z, ρ)
L,∗
◦ (ι(z)
M,∗ )
−1 (δ( ˜
ζ) 1 ), B
˜
L , (f ˜
L,ω )
˜
L
( ˜
ζ)1 ) = 0.
Il suffit pour cela de prouver que
(z,ρ)∈Z
ι(z, ρ)
L,∗
◦ (ι(z)
M,∗ )
−1 (δ( ˜
ζ) 1 ) = 0
et il suffit encore de prouver
(22)
(z,ρ)∈Z
˜
λ z,ρ (r
1 ) = 0
pour tout r
1 dans un voisinage du support de δ( ˜
ζ) 1 dans R
( ˜
ζ) 1 (F ).
Supposons que l’on soit dans le cas (7), c’est-à-dire que ˆ
R ne corresponde
pas à un Levi de G. On choisit
Z = (Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ
∩ (Z( ˆ
L)
ΓF (1 − ˆ
θ) ◦ π(Z( ˆ
R sc )
ΓF )))/Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ .
Notons Z 0 l’ensemble des (z, ρ) ∈ Z × π(Z( ˆ
R sc )
ΓF ) tels que z(1 − ˆ
θ)(ρ)
−1
∈
Z( ˆ
L)
ΓF . Appliquons les calculs précédents à un couple (z, ρ) ∈ Z 0 . On peut supposer ρ sc ∈ Z( ˆ
R sc )
ΓF et ρ = π(ρ sc ). Le terme (1, ρ, ρ
−1
sc ) appartient à ˆ
Y RL . On
peut remplacer (Y RL , z sc ) par son produit avec le cobord associé cet élément.
Ce produit n’est autre que (1, τ sc ), où τ sc = z sc (1 − ˆ
θ)(ρ sc )
−1
∈ ˆ
T
L,ΓF
sc
. On a
écrit z = τ (1 − ˆ
θ)(ρ). On voit que τ sc a même image que τ dans ˆ
G AD . Donc