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Chapitre II. Enoncés des résultats
Pour w ∈ W F , X MR (w) est l’image de (X
M
MRL (w), X
R
MRL (w), X
MR
MRL,sc (w))
dans ˆ
Σ MR . Notons ˆ
M
12 le groupe dual du produit fibré M
1 × M M
2 . On a l’inclusion naturelle diagonale Z( ˆ
M
12 ) → ˆ
Σ MR . On voit que X MR est l’image par
cette inclusion du cocycle w → (ζ 1 (w)
−1 , ζ
2 (w)) ∈ Z( ˆ
M
12 ). On se rappelle que
ˆ
ξ 1 (r(w), w) = (ζ 1 (w), w), ˆ
ξ 2 (r(w), w) = (ζ
2 (w), w). Alors le cocycle précédent est
l’inverse du cocycle qui définit le caractère λ
M , cf. [I] 2.5. En reprenant la preuve
du lemme [I] 2.5, on calcule
(20)
μ MR , X MR = λ
M (b 1 , b 2 ).
Notons ˆ
L
12 le groupe dual du produit fibré L
1 × L L
2 . On se rappelle que
le recollement est ici relatif non pas aux homomorphismes ˆ
ξ 1 et ˆ
ξ 2 , mais aux
homomorphismes ˆ
ξ 1 et ˆ
ξ 2 ◦ ad ρ . On a ˆ
ξ 2 ◦ ad ρ (r(w), w) = ( ˆ
ξ 2 (ρw G (ρ)
−1 )ζ
2 (w), w).
Le caractère λ
L est donc défini par le cocycle w → (ζ 1 (w), ˆ
ξ 2 (w G (ρ)ρ
−1 )ζ
2 (w)
−1 ) ∈
Z( ˆ
L
12 ). Ce groupe s’envoie naturellement dans ˆ
Σ RL . Notons D le cocycle de W F à
valeurs dans ˆ
Σ RL qui est l’image de l’inverse du précédent. Introduisons le tore ˆ
Y RL
formé des (t
R , t
L , t sc ) ∈ ˆ
T
R
× ˆ
T
L
× ˆ
T sc tels que j(t sc ) = t
R (t
L )
−1 , muni d’une
action galoisienne similaire à celle sur Σ RL . Il y a un homomorphisme naturel
ˆ
Y RL → ˆ
Σ RL . On se rappelle que ρ ∈ Z( ˆ
R) ∗ . Donc, pour w ∈ W F , w G (ρ)ρ
−1
appartient à Z( ˆ
R) ∩ ˆ
T
ˆ
θ,0
⊂ ˆ
T
R
. Posons
Y
R
RL (w) = w G (ρ)ρ
−1
∈ ˆ
T
R
, Y
L
RL (w) = w T L (ρ)ρ
−1
∈ ˆ
T
L ,
Y RL,sc = w G (ρ sc )w T L (ρ sc )
−1
∈ ˆ
T sc ,
puis Y RL (w) = (Y
R
RL (w), Y
L
RL (w), Y RL,sc (w)) ∈ ˆ
Y RL .
Il y a un homomorphisme naturel ˆ
p : ˆ
Y RL → Σ RL . Pour w ∈ W F , X RL (w) est
l’image de (X
R
MRL (w), X
L
MRL (w), X
RL
MRL,sc (w)) dans ˆ
Σ RL . On vérifie que X RL est
le produit de D et de ˆ
p(Y RL ). Plus précisement le cocycle (X RL , z sc ) est le produit
de (D, 1) et de (ˆ p(Y RL ), z sc ). Le produit
(V
−1
T L ,ad
, ν RL ), (D, 1)
se calcule comme
on a calculé μ MR , X MR . Il vaut λ
L (a 1 , a 2 )
−1 . Notons Y RL le tore dual de ˆ
Y RL
et p : Σ RL → Y RL l’homomorphisme dual de ˆ
p. Par compatibilité des produits, le
second produit est égal à
(V
−1
T L ,ad
, y RL ), (Y RL , z sc )
où y RL = p(ν RL ). D’où
(V
−1
T L ,ad , ν RL ), (X RL , z sc )
= λ
L (a 1 , a 2 )
−1
(V
−1
T L ,ad , y RL ), (Y RL , z sc )
.
Revenons à l’égalité (12) où on rétablit les indices z et ρ de ˜
λ, utilisons (19), (20)
et l’égalité précédente. On obtient
(21)
˜
λ z,ρ (r
1 ) =
(V
−1
T L ,ad
, y RL ), (Y RL , z sc )
.
On se rappelle qu’au cours de la démonstration, on a dû ajuster ρ de sorte que
ad ρ envoie l’épinglage fixé de ˆ
L
( ˜
ζ) sur celui de ˆ
L
(z ˜
ζ). Pour cela, on a multiplié
Chapitre II. Enoncés des résultats
Pour w ∈ W F , X MR (w) est l’image de (X
M
MRL (w), X
R
MRL (w), X
MR
MRL,sc (w))
dans ˆ
Σ MR . Notons ˆ
M
12 le groupe dual du produit fibré M
1 × M M
2 . On a l’inclusion naturelle diagonale Z( ˆ
M
12 ) → ˆ
Σ MR . On voit que X MR est l’image par
cette inclusion du cocycle w → (ζ 1 (w)
−1 , ζ
2 (w)) ∈ Z( ˆ
M
12 ). On se rappelle que
ˆ
ξ 1 (r(w), w) = (ζ 1 (w), w), ˆ
ξ 2 (r(w), w) = (ζ
2 (w), w). Alors le cocycle précédent est
l’inverse du cocycle qui définit le caractère λ
M , cf. [I] 2.5. En reprenant la preuve
du lemme [I] 2.5, on calcule
(20)
μ MR , X MR = λ
M (b 1 , b 2 ).
Notons ˆ
L
12 le groupe dual du produit fibré L
1 × L L
2 . On se rappelle que
le recollement est ici relatif non pas aux homomorphismes ˆ
ξ 1 et ˆ
ξ 2 , mais aux
homomorphismes ˆ
ξ 1 et ˆ
ξ 2 ◦ ad ρ . On a ˆ
ξ 2 ◦ ad ρ (r(w), w) = ( ˆ
ξ 2 (ρw G (ρ)
−1 )ζ
2 (w), w).
Le caractère λ
L est donc défini par le cocycle w → (ζ 1 (w), ˆ
ξ 2 (w G (ρ)ρ
−1 )ζ
2 (w)
−1 ) ∈
Z( ˆ
L
12 ). Ce groupe s’envoie naturellement dans ˆ
Σ RL . Notons D le cocycle de W F à
valeurs dans ˆ
Σ RL qui est l’image de l’inverse du précédent. Introduisons le tore ˆ
Y RL
formé des (t
R , t
L , t sc ) ∈ ˆ
T
R
× ˆ
T
L
× ˆ
T sc tels que j(t sc ) = t
R (t
L )
−1 , muni d’une
action galoisienne similaire à celle sur Σ RL . Il y a un homomorphisme naturel
ˆ
Y RL → ˆ
Σ RL . On se rappelle que ρ ∈ Z( ˆ
R) ∗ . Donc, pour w ∈ W F , w G (ρ)ρ
−1
appartient à Z( ˆ
R) ∩ ˆ
T
ˆ
θ,0
⊂ ˆ
T
R
. Posons
Y
R
RL (w) = w G (ρ)ρ
−1
∈ ˆ
T
R
, Y
L
RL (w) = w T L (ρ)ρ
−1
∈ ˆ
T
L ,
Y RL,sc = w G (ρ sc )w T L (ρ sc )
−1
∈ ˆ
T sc ,
puis Y RL (w) = (Y
R
RL (w), Y
L
RL (w), Y RL,sc (w)) ∈ ˆ
Y RL .
Il y a un homomorphisme naturel ˆ
p : ˆ
Y RL → Σ RL . Pour w ∈ W F , X RL (w) est
l’image de (X
R
MRL (w), X
L
MRL (w), X
RL
MRL,sc (w)) dans ˆ
Σ RL . On vérifie que X RL est
le produit de D et de ˆ
p(Y RL ). Plus précisement le cocycle (X RL , z sc ) est le produit
de (D, 1) et de (ˆ p(Y RL ), z sc ). Le produit
(V
−1
T L ,ad
, ν RL ), (D, 1)
se calcule comme
on a calculé μ MR , X MR . Il vaut λ
L (a 1 , a 2 )
−1 . Notons Y RL le tore dual de ˆ
Y RL
et p : Σ RL → Y RL l’homomorphisme dual de ˆ
p. Par compatibilité des produits, le
second produit est égal à
(V
−1
T L ,ad
, y RL ), (Y RL , z sc )
où y RL = p(ν RL ). D’où
(V
−1
T L ,ad , ν RL ), (X RL , z sc )
= λ
L (a 1 , a 2 )
−1
(V
−1
T L ,ad , y RL ), (Y RL , z sc )
.
Revenons à l’égalité (12) où on rétablit les indices z et ρ de ˜
λ, utilisons (19), (20)
et l’égalité précédente. On obtient
(21)
˜
λ z,ρ (r
1 ) =
(V
−1
T L ,ad
, y RL ), (Y RL , z sc )
.
On se rappelle qu’au cours de la démonstration, on a dû ajuster ρ de sorte que
ad ρ envoie l’épinglage fixé de ˆ
L
( ˜
ζ) sur celui de ˆ
L
(z ˜
ζ). Pour cela, on a multiplié