II.1. Intégrales orbitales pondérées
249
On en déduit aisément un diagramme d’homomorphismes duaux
(18)
H
1 (Γ F ;T
L
ad
1−θ
→ Σ ML )
×
H
1 (W F ; ˆ
Σ ML
1− ˆ
θ
→ ˆ
T
L
sc )
↓
↑
H
1 (Γ F ;T
L
ad
1−θ
→ Σ MRL )
×
H
1 (W F ; ˆ
Σ MRL
1− ˆ
θ
→ ˆ
T
L
sc )
↑
↓
(H
0 (Γ F ;Σ MR ) × H
1 (Γ F ;T
L
ad
1−θ
→ Σ RL )) × (H
1 (W F ; ˆ
Σ MR ) × H
1 (W F ; ˆ
Σ RL
1− ˆ
θ
→ ˆ
T
L
sc ))
Le tore ˆ
Σ MRL dual de Σ MRL est le groupe des (t
M , t
R , t
L , t
MR
sc , t
RL
sc ) ∈ ˆ
T
M
12 × ˆ
T
R
12 ×
ˆ
T
L
12 × ˆ
T
ˆ
θ
sc × ˆ
T sc tels que j(t
MR
sc ) = t
M (t
R )
−1 et j(t
RL
sc ) = t
R (t
L )
−1 , muni d’une
action galoisienne convenable. Pour w ∈ W F , posons
X
M
MRL (w) = X
M
ML (w) ∈ ˆ
T
M
12 ,
X
R
MRL (w) = (ζ 1 (w)
−1 , ζ
2 (w)) ∈ ˆ
T
R
12 ,
X
L
MRL (w) = X
L
ML (w) ∈ ˆ
T
L
12 ,
X
MR
MRL,sc (w) = 1, X
RL
MRL,sc (w) = X ML,sc (w) ∈ ˆ
T sc .
On note X MRL (w) l’élément
(X
M
MRL (w), X
R
MRL (w), X
L
MRL (w), X
MR
MRL,sc (w), X
RL
MRL,sc (w))
de ˆ
Σ MRL . On vérifie que le couple (X MRL , z sc ) est un cocycle et définit un élément
de H
1 (W F ; ˆ
Σ MRL
1− ˆ
θ
→ ˆ
T
L
sc ). Le cocycle (X MR , z sc ) en est l’image par la flèche de
droite supérieure du diagramme ci-dessus. Par compatibilité des produits, on en
déduit
Δ 1,imp (m
1 , m; l
1 , l)Δ 2,imp (m
2 , m; l
2 , l)
−1 =
(V
−1
T L ,ad
, ν MRL ), (X MRL , z sc )
,
où ν MRL est l’image de ν ML dans Σ MRL . Notons μ MR l’image naturelle de
((μ
M
1 , μ
M
2 ), (μ
R
1 , μ
R
2 )
−1 ) dans Σ MR et ν RL l’image naturelle de ((μ
R
1 , μ
R
2 ), (ν
L
12 )
−1 )
dans Σ RL . On vérifie que ν MRL est l’image de (μ MR , ν RL ) par la flèche de gauche
de (17). On vérifie aussi que μ MR ∈ Σ
ΓF
MR = H
0 (Γ F ; Σ MR ) et que (V
−1
T L ,ad
, ν RL )
définit un élément de H
1 (Γ F ; T
L
ad
1−θ
→ Σ RL ). Donc (V
−1
T L ,ad
, ν MRL ) est l’image de
(μ MR , (V
−1
T L ,ad
, ν RL )) par la flèche de gauche inférieure de (18). Par compatibilité
des produits,
(19)
Δ 1,imp (m
1 , m; l
1 , l)Δ 2,imp (m
2 , m; l
2 , l)
−1
= μ MR , X MR
(V
−1
T L ,ad
, ν RL ), (X RL , z sc )
,
où (X MR , X RL ) est l’image de X MRL par l’homomorphisme dual de celui de
gauche de (17).
249
On en déduit aisément un diagramme d’homomorphismes duaux
(18)
H
1 (Γ F ;T
L
ad
1−θ
→ Σ ML )
×
H
1 (W F ; ˆ
Σ ML
1− ˆ
θ
→ ˆ
T
L
sc )
↓
↑
H
1 (Γ F ;T
L
ad
1−θ
→ Σ MRL )
×
H
1 (W F ; ˆ
Σ MRL
1− ˆ
θ
→ ˆ
T
L
sc )
↑
↓
(H
0 (Γ F ;Σ MR ) × H
1 (Γ F ;T
L
ad
1−θ
→ Σ RL )) × (H
1 (W F ; ˆ
Σ MR ) × H
1 (W F ; ˆ
Σ RL
1− ˆ
θ
→ ˆ
T
L
sc ))
Le tore ˆ
Σ MRL dual de Σ MRL est le groupe des (t
M , t
R , t
L , t
MR
sc , t
RL
sc ) ∈ ˆ
T
M
12 × ˆ
T
R
12 ×
ˆ
T
L
12 × ˆ
T
ˆ
θ
sc × ˆ
T sc tels que j(t
MR
sc ) = t
M (t
R )
−1 et j(t
RL
sc ) = t
R (t
L )
−1 , muni d’une
action galoisienne convenable. Pour w ∈ W F , posons
X
M
MRL (w) = X
M
ML (w) ∈ ˆ
T
M
12 ,
X
R
MRL (w) = (ζ 1 (w)
−1 , ζ
2 (w)) ∈ ˆ
T
R
12 ,
X
L
MRL (w) = X
L
ML (w) ∈ ˆ
T
L
12 ,
X
MR
MRL,sc (w) = 1, X
RL
MRL,sc (w) = X ML,sc (w) ∈ ˆ
T sc .
On note X MRL (w) l’élément
(X
M
MRL (w), X
R
MRL (w), X
L
MRL (w), X
MR
MRL,sc (w), X
RL
MRL,sc (w))
de ˆ
Σ MRL . On vérifie que le couple (X MRL , z sc ) est un cocycle et définit un élément
de H
1 (W F ; ˆ
Σ MRL
1− ˆ
θ
→ ˆ
T
L
sc ). Le cocycle (X MR , z sc ) en est l’image par la flèche de
droite supérieure du diagramme ci-dessus. Par compatibilité des produits, on en
déduit
Δ 1,imp (m
1 , m; l
1 , l)Δ 2,imp (m
2 , m; l
2 , l)
−1 =
(V
−1
T L ,ad
, ν MRL ), (X MRL , z sc )
,
où ν MRL est l’image de ν ML dans Σ MRL . Notons μ MR l’image naturelle de
((μ
M
1 , μ
M
2 ), (μ
R
1 , μ
R
2 )
−1 ) dans Σ MR et ν RL l’image naturelle de ((μ
R
1 , μ
R
2 ), (ν
L
12 )
−1 )
dans Σ RL . On vérifie que ν MRL est l’image de (μ MR , ν RL ) par la flèche de gauche
de (17). On vérifie aussi que μ MR ∈ Σ
ΓF
MR = H
0 (Γ F ; Σ MR ) et que (V
−1
T L ,ad
, ν RL )
définit un élément de H
1 (Γ F ; T
L
ad
1−θ
→ Σ RL ). Donc (V
−1
T L ,ad
, ν MRL ) est l’image de
(μ MR , (V
−1
T L ,ad
, ν RL )) par la flèche de gauche inférieure de (18). Par compatibilité
des produits,
(19)
Δ 1,imp (m
1 , m; l
1 , l)Δ 2,imp (m
2 , m; l
2 , l)
−1
= μ MR , X MR
(V
−1
T L ,ad
, ν RL ), (X RL , z sc )
,
où (X MR , X RL ) est l’image de X MRL par l’homomorphisme dual de celui de
gauche de (17).