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Chapitre II. Enoncés des résultats
Puisque z ∈ Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ et puisque l’image de ce groupe dans ˆ
G AD est connexe,
on peut supposer z sc ∈ Z( ˆ
M sc )
ΓF , ˆ
θ,0
⊂ ( ˆ
T
M
sc )
ΓF ,0 . Donc l’élément (z sc , 1) appartient à ˆ
U
ΓF ,0 . Or ce groupe est le noyau de l’accouplement avec H
1 (Γ F ; U
1−θ
→ S 12 )
([48], lemme A3B). Dans la formule (14), on peut donc remplacer le terme z par
(1, z sc ). Pour w ∈ W F , posons
X
M
ML (w) = (ζ 1 (w)
−1 , ζ
2 (w)) ∈ ˆ
T
M
12 , X
L
ML (w) = ˆ
V
L
12 (w) ∈ ˆ
T
L
12
X ML,sc (w) = ˆ
V 12,sc (w) ∈ ˆ
T sc ˆ
T
L
sc
les deux derniers termes étant débarrassés des x comme on l’a dit ci-dessus. On
note X ML (w) = (X
M
ML (w), X
L
ML (w), X ML,sc (w)). C’est un élément de ˆ
Σ ML . On
vérifie que le couple (X ML , z sc ) est un cocycle et définit donc un élément de
H
1 (W F ; ˆ
Σ ML
1− ˆ
θ
→ ˆ
T
L
sc ). Le cocycle ( ˆ
V 12 , (1, z sc )) est l’image de cet élément par
la flèche de droite du diagramme ci-dessus. Notons ν ML l’image naturelle de ν 12
dans Σ ML . L’image par la flèche de gauche de (V, ν 12 ) est (V
−1
T L ,ad
, ν ML ). Par
compatibilité des produits, (12) se récrit
Δ 1,imp (m
1 , m; l
1 , l)Δ 2,imp (m
2 , m; l
2 , l)
−1 =
(V
−1
T L ,ad , ν ML ), (X ML , z sc )
.
Le tore T
M
12 dual de ˆ
T
M
12 est le produit fibré de T
M
1
et T
M
2
au-dessus de T
M
.
Alors Σ ML est le quotient de T
M
12 × T
L
12 par l’image antidiagonale de Z 12 (ce
groupe est un sous-groupe de T
L
12 et il s’envoie naturellement dans T
M
12 ). On note
abusivement ce quotient (T
M
12 × T
L
12 )/ diag − (Z 12 ). On a introduit des éléments
r
1 ∈ ˜
R
1 (F ), r
2 ∈ ˜
R
2 (F ) et r
∈ ˜
R
(F ). Supposons-les assez réguliers. On note
leurs commutants T
R
1 ,T
R
2 et T
R
et on introduit leur produit fibré T
R
12 au-dessus
de T
R
(l’exposant R est ici formel, il n’y a pas de groupe R). On introduit les
tores
Σ MRL = (T
M
12 × T
R
12 × T
L
12 )/{(z
M , z
R , z
L ) ∈ (Z 12 )
3 ; z
M z
R z
L = 1},
Σ MR = (T
M
12 × T
R
12 )/ diag − (Z 12 ),
Σ RL = (T
R
12 × T
L
12 )/ diag − (Z 12 ),
avec les mêmes abus d’écriture que ci-dessus. Il y a des homomorphismes
(17)
Σ MR × Σ RL
Σ ML
Σ MRL .
Celui de gauche est
(t
M , t
R ), (u
R , t
L ) → (t
M , t
R u
R , t
L ),
celui de droite est
(t
M , t
L ) → (t
M , 1, t
L ).
Chapitre II. Enoncés des résultats
Puisque z ∈ Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ et puisque l’image de ce groupe dans ˆ
G AD est connexe,
on peut supposer z sc ∈ Z( ˆ
M sc )
ΓF , ˆ
θ,0
⊂ ( ˆ
T
M
sc )
ΓF ,0 . Donc l’élément (z sc , 1) appartient à ˆ
U
ΓF ,0 . Or ce groupe est le noyau de l’accouplement avec H
1 (Γ F ; U
1−θ
→ S 12 )
([48], lemme A3B). Dans la formule (14), on peut donc remplacer le terme z par
(1, z sc ). Pour w ∈ W F , posons
X
M
ML (w) = (ζ 1 (w)
−1 , ζ
2 (w)) ∈ ˆ
T
M
12 , X
L
ML (w) = ˆ
V
L
12 (w) ∈ ˆ
T
L
12
X ML,sc (w) = ˆ
V 12,sc (w) ∈ ˆ
T sc ˆ
T
L
sc
les deux derniers termes étant débarrassés des x comme on l’a dit ci-dessus. On
note X ML (w) = (X
M
ML (w), X
L
ML (w), X ML,sc (w)). C’est un élément de ˆ
Σ ML . On
vérifie que le couple (X ML , z sc ) est un cocycle et définit donc un élément de
H
1 (W F ; ˆ
Σ ML
1− ˆ
θ
→ ˆ
T
L
sc ). Le cocycle ( ˆ
V 12 , (1, z sc )) est l’image de cet élément par
la flèche de droite du diagramme ci-dessus. Notons ν ML l’image naturelle de ν 12
dans Σ ML . L’image par la flèche de gauche de (V, ν 12 ) est (V
−1
T L ,ad
, ν ML ). Par
compatibilité des produits, (12) se récrit
Δ 1,imp (m
1 , m; l
1 , l)Δ 2,imp (m
2 , m; l
2 , l)
−1 =
(V
−1
T L ,ad , ν ML ), (X ML , z sc )
.
Le tore T
M
12 dual de ˆ
T
M
12 est le produit fibré de T
M
1
et T
M
2
au-dessus de T
M
.
Alors Σ ML est le quotient de T
M
12 × T
L
12 par l’image antidiagonale de Z 12 (ce
groupe est un sous-groupe de T
L
12 et il s’envoie naturellement dans T
M
12 ). On note
abusivement ce quotient (T
M
12 × T
L
12 )/ diag − (Z 12 ). On a introduit des éléments
r
1 ∈ ˜
R
1 (F ), r
2 ∈ ˜
R
2 (F ) et r
∈ ˜
R
(F ). Supposons-les assez réguliers. On note
leurs commutants T
R
1 ,T
R
2 et T
R
et on introduit leur produit fibré T
R
12 au-dessus
de T
R
(l’exposant R est ici formel, il n’y a pas de groupe R). On introduit les
tores
Σ MRL = (T
M
12 × T
R
12 × T
L
12 )/{(z
M , z
R , z
L ) ∈ (Z 12 )
3 ; z
M z
R z
L = 1},
Σ MR = (T
M
12 × T
R
12 )/ diag − (Z 12 ),
Σ RL = (T
R
12 × T
L
12 )/ diag − (Z 12 ),
avec les mêmes abus d’écriture que ci-dessus. Il y a des homomorphismes
(17)
Σ MR × Σ RL
Σ ML
Σ MRL .
Celui de gauche est
(t
M , t
R ), (u
R , t
L ) → (t
M , t
R u
R , t
L ),
celui de droite est
(t
M , t
L ) → (t
M , 1, t
L ).