II.1. Intégrales orbitales pondérées
247
puisque ad ˆ
n L ( ˜
ζ) (ω T L ,L ( ˜
ζ) (w)) ◦w G = w T L . On obtient
ˆ
V
L
12 (w) = (ζ 1 (w)
−1 , ζ 2 (w), xw T L (x)
−1 w T L (ρ)w G (ρ)
−1 m
(w)
−1 ).
On a effectué les calculs dans le tore ˆ
T
L
1 × ˆ
T
L
2 × ˆ
T
L . En fait ˆ
V
L
12 (w) appartient au tore
ˆ
T
L
12 qui est un quotient du précédent. En particulier, puisque ˆ
m (w) ∈ Z( ˆ
M
) ⊂
ˆ
T
ˆ
θ,0 , on peut multiplier l’expression précédente par (1, ˆ
ξ 2 (m
(w))
−1 , m
(w)) qui
appartient au noyau de la projection. On obtient finalement
ˆ
V
L
12 (w) = (ζ 1 (w)
−1 , ζ
2 (w), xw T L (x)
−1 w T L (ρ)w G (ρ)
−1 ),
où ζ
2 (w) = ˆ
ξ 2 (m
(w))
−1 ζ 2 (w). Notons que ˆ
ξ 2 (r(w), w) = (ζ
2 (w), w).
On calcule de même les composantes ˆ
V
M
12 (w) et ˆ
V 12,sc (w). Le calcul est beaucoup plus simple pour ˆ
V
M
12 (w) puisque le groupe ˆ
M
est le même pour les deux
données et est standard. La conjugaison par ρ n’intervient plus. On obtient
ˆ
V
M
12 (w) = (ζ 1 (w)
−1 , ζ
2 (w), 1),
ˆ
V 12,sc (w) = x
−1 w T L (x)w G (ρ sc )w T L (ρ sc )
−1 ,
où, comme toujours, ρ sc est un élément de ˆ
G SC qui a même image que ρ dans
ˆ
G AD . A ce point, on voit que l’on peut supprimer les x des formules ci-dessus en
multipliant ( ˆ
V 12 , z) par le cobord de l’élément (1, x
−1 , 1) ∈ ˆ
S 12 .
Introduisons le tore ˆ
T
M
12 quotient de ˆ
T
M
1 × ˆ
T
M
2 par ˆ
T
M
plongé par ˆ
ξ 1 × ˆ
ξ
−1
2 .
Notons ˆ
Σ ML le sous-groupe des (t
M , t
L , t sc ) ∈ ˆ
T
M
12 × ˆ
T
L
12 × ˆ
T
L
sc tels que j(t sc ) =
t
M (t
L )
−1 . On a un diagramme commutatif
ˆ
Σ ML
1− ˆ
θ
→ ˆ
T
L
sc
↓
↓
ˆ
S 12
1− ˆ
θ
→
ˆ
U .
La flèche 1 − ˆ
θ du haut est (t
M , t
L , t sc ) → (1 − ˆ
θ)(t sc )
−1 . Le tore ˆ
T
M
12 s’envoie
naturellement dans ˆ
T
M
12 donc ˆ
Σ
ML s’envoie naturellement dans ˆ
S 12 . C’est la flèche
verticale de gauche. La flèche verticale de droite est t sc → (1, t sc ). On vérifie que
tous ces homomorphismes sont équivariants pour les actions galoisiennes. De ce
diagramme se déduisent des homomorphismes duaux
H
1 (Γ F ; U
1−θ
→ S 12 )
×
H
1 (W F ; ˆ
S 12
1− ˆ
θ
→ ˆ
U )
↓
↑
H
1 (Γ F ; T
L
ad
1−θ
→ Σ ML ) × H
1 (W F ; ˆ
Σ ML
1− ˆ
θ
→ ˆ
T
L
sc )
où bien sûr, Σ ML est le tore dual de ˆ
Σ ML .
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puisque ad ˆ
n L ( ˜
ζ) (ω T L ,L ( ˜
ζ) (w)) ◦w G = w T L . On obtient
ˆ
V
L
12 (w) = (ζ 1 (w)
−1 , ζ 2 (w), xw T L (x)
−1 w T L (ρ)w G (ρ)
−1 m
(w)
−1 ).
On a effectué les calculs dans le tore ˆ
T
L
1 × ˆ
T
L
2 × ˆ
T
L . En fait ˆ
V
L
12 (w) appartient au tore
ˆ
T
L
12 qui est un quotient du précédent. En particulier, puisque ˆ
m (w) ∈ Z( ˆ
M
) ⊂
ˆ
T
ˆ
θ,0 , on peut multiplier l’expression précédente par (1, ˆ
ξ 2 (m
(w))
−1 , m
(w)) qui
appartient au noyau de la projection. On obtient finalement
ˆ
V
L
12 (w) = (ζ 1 (w)
−1 , ζ
2 (w), xw T L (x)
−1 w T L (ρ)w G (ρ)
−1 ),
où ζ
2 (w) = ˆ
ξ 2 (m
(w))
−1 ζ 2 (w). Notons que ˆ
ξ 2 (r(w), w) = (ζ
2 (w), w).
On calcule de même les composantes ˆ
V
M
12 (w) et ˆ
V 12,sc (w). Le calcul est beaucoup plus simple pour ˆ
V
M
12 (w) puisque le groupe ˆ
M
est le même pour les deux
données et est standard. La conjugaison par ρ n’intervient plus. On obtient
ˆ
V
M
12 (w) = (ζ 1 (w)
−1 , ζ
2 (w), 1),
ˆ
V 12,sc (w) = x
−1 w T L (x)w G (ρ sc )w T L (ρ sc )
−1 ,
où, comme toujours, ρ sc est un élément de ˆ
G SC qui a même image que ρ dans
ˆ
G AD . A ce point, on voit que l’on peut supprimer les x des formules ci-dessus en
multipliant ( ˆ
V 12 , z) par le cobord de l’élément (1, x
−1 , 1) ∈ ˆ
S 12 .
Introduisons le tore ˆ
T
M
12 quotient de ˆ
T
M
1 × ˆ
T
M
2 par ˆ
T
M
plongé par ˆ
ξ 1 × ˆ
ξ
−1
2 .
Notons ˆ
Σ ML le sous-groupe des (t
M , t
L , t sc ) ∈ ˆ
T
M
12 × ˆ
T
L
12 × ˆ
T
L
sc tels que j(t sc ) =
t
M (t
L )
−1 . On a un diagramme commutatif
ˆ
Σ ML
1− ˆ
θ
→ ˆ
T
L
sc
↓
↓
ˆ
S 12
1− ˆ
θ
→
ˆ
U .
La flèche 1 − ˆ
θ du haut est (t
M , t
L , t sc ) → (1 − ˆ
θ)(t sc )
−1 . Le tore ˆ
T
M
12 s’envoie
naturellement dans ˆ
T
M
12 donc ˆ
Σ
ML s’envoie naturellement dans ˆ
S 12 . C’est la flèche
verticale de gauche. La flèche verticale de droite est t sc → (1, t sc ). On vérifie que
tous ces homomorphismes sont équivariants pour les actions galoisiennes. De ce
diagramme se déduisent des homomorphismes duaux
H
1 (Γ F ; U
1−θ
→ S 12 )
×
H
1 (W F ; ˆ
S 12
1− ˆ
θ
→ ˆ
U )
↓
↑
H
1 (Γ F ; T
L
ad
1−θ
→ Σ ML ) × H
1 (W F ; ˆ
Σ ML
1− ˆ
θ
→ ˆ
T
L
sc )
où bien sûr, Σ ML est le tore dual de ˆ
Σ ML .