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Chapitre II. Enoncés des résultats
asymétriques pour lesquelles les χ-data sont triviales. Pour un couple (O, −O) de
telles orbites, on peut supposer que O est formé d’éléments positifs pour l’ordre
> . On voit alors que
ˆ
r T L ,G (w)ˆ r T L ,L (w)
−1 =
α hors de ˆ
L
, α>0,
α> 0,w
−1
T L (α)<0
ˇ
α(−1).
Puisque w T L = ω(w)w G et que l’action w G préserve ˆ
B
, la condition w
−1
T L (α) < 0
équivaut à ω(w)
−1 (α) < 0. Pour α hors de ˆ
L
, ω(w) préserve l’ordre > . La
condition α > 0 équivaut à ω(w)
−1 (α) > 0. Le produit ci-dessus est donc sur
l’ensemble des α hors de ˆ
L
tels que α > 0, ω(w)
−1 (α) < 0 et ω(w)
−1 (α) > 0. Mais
alors, la condition α hors de ˆ
L
devient superflue car les deux dernières relations
interdisent à α d’être dans ce Levi. En remplaçant la condition ω(w)
−1 (α) > 0
par la condition équivalente u
−1 ω(w)
−1 (α) > 0, on obtient l’égalité
ˆ
r T L ,G (w)ˆ r T L ,L (w)
−1 = t(ω(w), u).
En rassemblant ces calculs, on obtient (16).
Remarque. On n’a pas pris soin du sens des indices sc. L’élément x construit
appartient à ˆ
G
SC . On n’aura besoin que de son image naturelle dans ˆ
G SC .
On effectue les mêmes constructions pour les données relatives à z ˜
ζ. L’assertion (16) nous fournit deux éléments x 1 et x 2 . On a évidemment l’égalité
ˆ
r T L ,L ( ˜
ζ) (w) = ˆ
r T L ,L (z ˜
ζ) (w). On a ajusté ρ de sorte que ad ρ transporte la paire
de Borel épinglée de ˆ
L
( ˜
ζ) sur celle de ˆ
L
(z ˜
ζ). Il en résulte que
ˆ
n L (z ˜
ζ) (ω T L ,L (z ˜
ζ) (w)) = ρˆ n L ( ˜
ζ) (ω T L ,L ( ˜
ζ) (w))ρ
−1 .
A ce point, la formule (15) se récrit
t T L ,1 (w)
−1 t T L ,2 (w)
= xw T L (x)
−1 ˆ
n L ( ˜
ζ) (ω T L ,L ( ˜
ζ) (w))m
(w)
−1 ρˆ n L ( ˜
ζ) (ω T L ,L ( ˜
ζ) (w))
−1 ρ
−1 ,
où x = x 1 x
−1
2 . Utilisons encore que ad ρ : ˆ
L
( ˜
ζ) → ˆ
L
(z ˜
ζ) est équivariante pour les
actions galoisiennes. On a w L ( ˜
ζ) = ad r(w) ◦w G et w L (z ˜
ζ) = ad m (w)r(w) ◦w G . De
plus ρ ∈ Z( ˆ
R) donc commute à r(w). Alors l’égalité w L (z ˜
ζ) ◦ ad ρ = ad ρ ◦w L ( ˜
ζ)
entraîne que ρ
−1 m
(w)w G (ρ) ∈ Z( ˆ
L
( ˜
ζ)).
Donc cet élément commute à ˆ
n L ( ˜
ζ) (ω T L ,L ( ˜
ζ) (w)). Alors
t T L ,1 (w)
−1 t T L ,2 (w) = xw T L (x)
−1 ˆ
n L ( ˜
ζ) (ω T L ,L ( ˜
ζ) (w))w G (ρ)w G (ρ)
−1
m
(w)
−1 ρˆ n L ( ˜
ζ) (ω T L ,L ( ˜
ζ) (w))
−1 ρ
−1
= xw T L (x)
−1 ˆ
n L ( ˜
ζ) (ω T L ,L ( ˜
ζ) (w))w G (ρ)ˆ n L ( ˜
ζ) (ω T L ,L ( ˜
ζ) (w))
−1 w G (ρ)
−1 m
(w)
−1
= xw T L (x)
−1 w T L (ρ)w G (ρ)
−1 m
(w)
−1 ,